Additionssatz

Additionssatz Definition

Nach dem (allgemeinen) Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten berechnet sich die Wahrscheinlichkeit, dass von z.B. 2 Ereignissen mindestens eines eintritt, mit folgender Formel (P für Wahrscheinlichkeit):

P (A UND/ODER B) = P (A) + P (B) - P (A UND B)

In Worten: Die Wahrscheinlichkeit, dass A oder B oder beide zusammen eintreten ist gleich der Summe aus den Wahrscheinlichkeiten für A und B abzüglich der Wahrscheinlichkeit, dass A und B zusammen auftreten.

Beispiel

Beispiel: Addition von Wahrscheinlichkeiten

Laut Wetterprognose

  • soll es am Samstag mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 % schneien,
  • am Sonntag mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 % und
  • mit einer Wahrscheinlichkeit von 40 % soll es an beiden Wochenendtagen schneien.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es am Wochenende zumindest einmal schneit?

Als Ereignisse kann man definieren:

  • A: es schneit am Samstag
  • B: es schneit am Sonntag

Dann ist: P (A UND/ODER B) = P (A) + P (B) - (P UND B) = 0,5 + 0,8 - 0,4 = 0,9.

Die Chancen, dass es am Wochenende (zumindest einmal) schneit sind also 90 %.

Additionssatz bei disjunkten Ereignissen

Hierbei handelt es sich um die Berechnung, wenn die beiden Ereignisse nicht disjunkt sind, d.h. sich nicht ausschließen (Schneien am Samstag schließt erneutes Schneien am Sonntag nicht aus). Im Fall disjunkter Ereignisse hingegen würde man einfach die Einzelwahrscheinlichkeiten aufaddieren: P (A ODER B) = P (A) + P (B).

Kontrollrechnung

Die Wahrscheinlichkeit, dass es nur am Samstag schneit ist 0,5 × 0,2 = 0,1 (die 50 % - Wahrscheinlichkeit, dass es Samstag schneit multipliziert mit der 20 %-igen Wahrscheinlichkeit, dass es Sonntag nicht schneit).

Die Wahrscheinlichkeit, dass es nur am Sonntag schneit ist 0,5 × 0,8 = 0,4 (die 50 % - Wahrscheinlichkeit, dass es Samstag nicht schneit multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit von 80 %, dass es Sonntag schneit).

Die Wahrscheinlichkeit, dass es an beiden Tag schneit ist (laut Angabe) 0,4.

Die drei Wahrscheinlichkeiten werden aufaddiert:

P (A UND/ODER B) = 0,1 + 0,4 + 0,4 = 0,9.

Additionssatz bei unabhängigen Ereignissen

Sind die beiden Ereignisse A und B voneinander unabhängig, kann der Additionssatz wie folgt geschrieben werden:

P (A UND/ODER B) = P (A) + P (B) - P (A) × P(B).

Beispiel: Additionssatz bei unabhängigen Ereignissen

Es wird zweimal gewürfelt. Die Ereignisse A (eine 6 beim ersten Wurf) und B (eine 6 beim zweiten Wurf) sind voneinander unabhängig.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal ein 6 gewürfelt wird?

P (A UND/ODER B) = P (A) + P (B) - P (A) × P(B) = 1/6 + 1/6 - 1/6 × 1/6 = 2/6 - 1/36 = 12/36 - 1/36 = 11/36.