Bestimmtheitsmaß

Bestimmtheitsmaß Definition

Im Beispiel zur Methode der kleinsten Quadrate (lineare Regression) wurde ein linearer Zusammenhang zwischen der abhängigen Variablen (Schuhgröße y) und der unabhängigen Variablen (Körpergröße x) mit der Regressionsfunktion yi = 34 + 0,05 × xi abgebildet.

Nun stellt sich die Frage, wie gut diese Regressionsgerade ist, d.h. wie nahe liegen die sich aus der gefundenen Regressionsfunktion ergebenden Werte für die Schuhgröße in Abhängigkeit von der Körpergröße den tatsächlich gemessenen Schuhgrößen (mit anderen Worten: wie gut wird die Punktewolke durch die Regressionsgerade angenähert?).

Diese Frage kann durch das sog. Bestimmtheitsmaß als "Gütemaß der Regression" beantwortet werden.

Dazu setzt man die durch die Regressionsfunktion erklärte Streuung der Daten (berechnet als quadrierte Abstände) zu der gesamten Streuung in Relation.

Beispiel

Beispiel: Bestimmtheitsmaß berechnen

Auf die Daten zur Methode der kleinsten Quadrate bezogen:

Schritt 1: Gesamtstreuung berechnen

Die quadrierten Abstände zwischen den tatsächlichen Schuhgrößen und dem Mittelwert der Schuhgröße (der Mittelwert ist: (42 + 44 + 43) / 3 = 43) sind in Summe: (42 - 43)2 + (44 - 43)2 + (43 - 43)2 = -12 + 12 + 02 = 1 + 1 + 0 = 2.

Schritt 2: durch Regression erklärte Streuung berechnen

Aus der Regressionsfunktion ergeben sich folgende "prognostizierte" y-Werte (Schuhgrößen):

y1 = 34 + 0,05 × 170 = 34 + 8,5 = 42,5

y2 = 34 + 0,05 × 180 = 34 + 9 = 43

y3 = 34 + 0,05 × 190 = 34 + 9,5 = 43,5

Die quadrierten Abstände zwischen den prognostizierten Schuhgrößen und dem Mittelwert der Schuhgröße sind in Summe: (42,5 - 43)2 + (43 - 43)2 + (43,5 - 43)2 = -0,52 + 02 + 0,52 = 0,25 + 0 + 0,25 = 0,5.

Schritt 3: Bestimmtheitsmaß berechnen

Bestimmheitsmaß = erklärte Streuung / gesamte Streuung = 0,5 / 2 = 0,25.

Das Bestimmtheitsmaß liegt immer im Intervall 0 bis 1; je näher das Bestimmtheitsmaß an 1 dran ist, desto besser passt die ermittelte Regressionsgerade (bei einem Bestimmtheitsmaß von 1 sind alle Residuen 0); je näher das Bestimmtheitsmaß an o ist, desto schlechter passt sie (so wie hier mit 0,25; dass die Regression nicht gut ist sieht man schon grafisch an der Regressionsgeraden im Streudiagramm bzw. den Abständen zu den Daten).

Im Falle der linearen Regression entspricht das Bestimmtheitsmaß dem quadrierten Korrelationskoeffizienten (nach Pearson). Dieser wäre 0,5 und quadriert ergibt sich auch daraus das Bestimmtheitsmaß R2 = 0,52 = 0,25.