Fakultät

Fakultät Definition

Die n-Fakultät einer natürlichen Zahl n ist das Produkt der natürlichen Zahlen, die kleiner als n sind. Die Fakultät wird mit einem ! (Ausrufezeichen) abgekürzt: n!.

Beispiel: Fakultät berechnen

3! (3 Fakultät) = 3 × 2 × 1 = 6

4! (4 Fakultät) = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

5! (5 Fakultät) = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Als Besonderheit wird 1! = 1 und 0! ebenfalls = 1 definiert (sonst müsste man bei manchen Berechnungen durch Null teilen).

Fakultäten können auch gekürzt werden, z.B. ist 5! / 3! = (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (3 × 2 × 1) = 5 × 4 = 20.

Auf dem Taschenrechner ist die Taste zur Berechnung der Fakultät i.d.R. mit x! bezeichnet (man gibt z.B. 5 ein und aktiviert dann die Taste x!).

Fakultäten werden in der Statistik bzw. Stochastik für die Kombinatorik, für Verteilungen wie die Binomialverteilung oder die Poisson-Verteilung und für den Binomialkoeffizienten benötigt.

Stirling-Formel

Fakultäten werden schnell groß und lassen sich mit dem Taschenrechner nicht mehr berechnen (viele Taschenrechner können bereits 70! nicht mehr berechnen).

Mit der sog. Stirling-Formel kann für große Zahlen die Fakultät zumindest näherungsweise berechnet werden:

n! entspricht ca.: [Wurzel aus (2 × π × n)] × nn × e-n

Dabei ist π die Konstante 3,141592654 und e ist die Eulersche Zahl 2,718281828.

Beispiel: Fakultät mit der Stirling-Formel näherungsweise berechnen

20! = [Wurzel aus (2 × π × 20)] × 2020 × e-20 = 2,422786847 × 1018.

Die korrekte, d.h. nicht nur näherungsweise berechnete Zahl laut Taschenrechner ist: 2,432902008 × 1018.