Gegenereignis

Gegenereignis Definition

Oft ist es einfacher oder erforderlich, nicht mit dem Ereignis bzw. dessen Wahrscheinlichkeit zu rechnen, sondern mit dem Gegenereignis bzw. der Gegenwahrscheinlichkeit.

Ist z.B. das Ereignis "eine 6 beim einmaligen Würfeln" und die dazugehörige Wahrscheinlichkeit 1/6, ist das Gegenereignis dazu die Menge der Zahlen 1 bis 5 und die Gegenwahrscheinlichkeit: 1 - 1/6 = 5/6.

Wird nach einer Wahrscheinlichkeit für "mindestens" gefragt (z.B. wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim 5-maligen Würfeln mindestens einmal die Sechs gewürfelt wird?), ist es umständlich, die Wahrscheinlichkeiten für einmal die Sechs, zweimal die Sechs, ..., 5 mal die Sechs zu berechnen und aufzuaddieren; kürzer rechnet man über die Gegenwahrscheinlichkeit "es wird keine Sechs gewürfelt": 1 - (5/6)5 = 1 - 0,40188 = 0,598 (d.h., mit ca. 59,8 % Wahrscheinlichkeit wird mindestens eine Sechs gewürfelt).

Beispiel

Gegenereignis Beispiel

Bei der Produktion eines Produktes werden 3 Arbeitsplätze A, B und C (z.B. Drehen, Fräsen, Bohren) durchlaufen. Für die 3 Arbeitsplätze wurden folgende Wahrscheinlichkeiten für einen Produktionsfehler ermittelt: 0,1 bzw. 10 % (Arbeitsplatz A), 0,2 bzw. 20 % (B) und 0,3 bzw. 30 % (C).

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt ohne Produktionsfehler (fehlerfrei) ist?

Über das jeweilige Gegenereignis und die dazugehörigen Gegenwahrscheinlichkeiten kann die Wahrscheinlichkeit berechnet werden:

0,9 × 0,8 × 0,7 = 0,504. D.h., die Wahrscheinlichkeit für ein gänzlich fehlerfreies Produkt ist 50,4 %.

Dabei ist 0,9 die Gegenwahrscheinlichkeit dazu, dass ein Produktionsfehler auf Arbeitsplatz A auftritt oder anders formuliert die Wahrscheinlichkeit dafür, dass kein Produktionsfehler auf Arbeitsplatz A auftritt. 0,8 und 0,7 sind entsprechend die Gegenwahrscheinlichkeiten für Produktionsfehler auf den Arbeitsplätzen B und C.

Kontrollrechnung

Von 1.000 Produkten gibt Arbeitsplatz A 90 % = 900 fehlerfrei weiter (und 100 fehlerbehaftet), davon werden 20 % = 180 Stück auf Arbeitsplatz B mit einem Produktionsfehler versehen, so dass noch 720 fehlerfreie Stücke an Arbeitsplatz C weitergegeben werden und dieser sorgt für 30 % von 720 = 216 fehlerhafte Stücke, so dass 504 fehlerfreie Produkte (720 - 216) am Ende übrig bleiben.