Lagrange-Funktion

Lagrange-Funktion Definition

Mit der Lagrange-Funktion können Optimierungsprobleme gelöst werden. I.d.R. wird etwas maximiert (z.B. Gewinn) oder minimiert (z.B. Kosten) unter Beachtung einer oder mehrerer Nebenbedingungen.

Alternative Begriffe: Lagrange-Ansatz, Lagrange-Optimierung, Lagrange-Verfahren.

Beispiel

Beispiel: Maximierung mit Lagrange-Funktion

Das Haushaltsoptimum – maximaler Nutzen unter Einhaltung der Budgetbeschränkung – soll mit dem Lagrange-Ansatz gefunden werden.

Die Nutzenfunktion war U (x1, x2) = 2 × x1 × x2 (mit x1 für die Menge von Gut 1 und x2 für die Menge von Gut 2).

Die Budgetrestriktion war p1x1 + p2x2 = m, d.h.: 1 x1 + 2 x2 = 60 (x1 hat einen Preis von 1 €, x2 hat einen Preis von 2 € und das verfügbare Einkommen / Budget ist 60 €).

Lagrange-Funktion aufstellen

Die Lagrange-Funktion mit λ als sog. Lagrange-Multiplikator lautet:

L = U (x1, x2) - λ (p1x1 + p2x2 - m)

L = 2 x1x2 - λ (x1 + 2 x2 - 60)

Lagrange-Funktion nach x1 ableiten und = 0 setzen

2 x2 - λ = 0

λ = 2 x2

Lagrange-Funktion nach x2 ableiten und = 0 setzen

2 x1 - 2 λ = 0

λ = x1

Die beiden λ gleichsetzen

x1 = 2 x2

Einsetzen von x1 in die Budgetgleichung

2 x2 + 2 x2 = 60

4 x2 = 60

x2 = 15

x1 ermitteln

x1 = 2 x2

x1 = 2 × 15 = 30