Markov-Ungleichung

Markov-Ungleichung Definition

Mit der Markov-Ungleichung kann abgeschätzt werden, wie wahrscheinlich bzw. unwahrscheinlich es ist, dass eine Zufallsvariable stark nach oben (um ein Vielfaches) von ihrem Erwartungswert abweicht (z.B. eine Mannschaft schießt 6 Tore statt der "üblichen" 2 in einem Spiel oder es kommen 1.000 Kunden am Tag in ein Geschäft statt wie sonst im Schnitt 250 Kunden).

Als Formel: P (X >= t) <= E(X)/t

In Worten: Die Wahrscheinlichkeit P, dass die Zufallsvariable > t ist, ist kleiner gleich dem Erwartungswert E(X) geteilt durch t.

Die Markov-Ungleichung dient lediglich einer Abschätzung und stellt keine exakte Wahrscheinlichkeitsberechnung dar. Sie basiert lediglich auf der Kenntnis des Erwartungswerts; kennt man zudem noch die Varianz, kann die Tschebyscheff-Ungleichung angewandt werden.

Alternative Begriffe: Markov'sche Ungleichung, Markow-Ungleichung.

Beispiel

Beispiel: Markov-Ungleichung berechnen

Der Erwartungswert für "Anzahl der Tore" einer Fußball-Mannschaft bei Heimspielen sei 2.

Abweichungen vom Erwartungswert nach oben

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Mannschaft z.B. 6 Tore (also 3 mal so viel Tore wie im Schnitt zu erwarten) oder mehr in einem Heimspiel schießt?

P (X >= 6) <= 2/6 = 1/3.

Die Wahrscheinlichkeit ist höchstens 1/3 = ca. 33 %.

Abweichungen vom Erwartungswert nach unten

Abweichungen vom Erwartungswert nach unten (Unterschreiten des Erwartungswerts) können nur über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnet werden.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Mannschaft weniger als 6 Tore schießt?

Die Wahrscheinlichkeit, dass 6 oder mehr Tore geschossen werden, war höchstens 1/3. Die Gegenwahrscheinlichkeit = 1 - 1/3 = 2/3 = ca. 67 %.

Mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens ca. 67 % werden weniger als 6 Tore geschossen.