Markov-Ungleichung
Markov-Ungleichung Definition
Mit der Markov-Ungleichung (statt Markov findet man auch Markow oder Markoff) kann abgeschätzt werden, wie wahrscheinlich bzw. unwahrscheinlich es ist, dass eine Zufallsvariable stark nach oben (um ein Vielfaches) von ihrem Erwartungswert abweicht (z.B. eine Mannschaft schießt 6 Tore statt der "üblichen" 2 in einem Spiel oder es kommen 1.000 Kunden am Tag in ein Geschäft statt wie sonst im Schnitt 250 Kunden).
Als Formel: P (X >= t) <= E(X)/t
In Worten: Die Wahrscheinlichkeit P, dass die Zufallsvariable größer gleich t ist, ist kleiner gleich dem Erwartungswert E(X) geteilt durch t.
Die Markov-Ungleichung dient lediglich einer Abschätzung und stellt keine exakte Wahrscheinlichkeitsberechnung dar. Sie basiert lediglich auf der Kenntnis des Erwartungswerts; kennt man zudem noch die Varianz, kann die Tschebyscheff-Ungleichung angewandt werden.
Alternative Begriffe: Markov'sche Ungleichung, Markow-Ungleichung, Ungleichung von Markov.
Beispiel
Beispiel: Markov-Ungleichung berechnen
Der Erwartungswert für "Anzahl der Tore" einer Fußball-Mannschaft bei Heimspielen sei 2.
Abweichungen vom Erwartungswert nach oben
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Mannschaft z.B. 6 Tore (also 3 mal so viel Tore wie im Schnitt zu erwarten) oder mehr in einem Heimspiel schießt?
P (X >= 6) <= 2/6 = 1/3.
Die Wahrscheinlichkeit ist höchstens 1/3 = ca. 33 %.
Abweichungen vom Erwartungswert nach unten
Abweichungen vom Erwartungswert nach unten (Unterschreiten des Erwartungswerts) können nur über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnet werden.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Mannschaft weniger als 6 Tore schießt?
Die Wahrscheinlichkeit, dass 6 oder mehr Tore geschossen werden, war höchstens 1/3. Die Gegenwahrscheinlichkeit = 1 - 1/3 = 2/3 = ca. 67 %.
Mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens ca. 67 % werden weniger als 6 Tore geschossen.