Schiefe

Schiefe Definition

Die Schiefe einer Verteilung bezieht sich darauf, wie asymmetrisch eine Verteilung ist. Das kann man am besten an einem Diagramm der Verteilung (z.B. Histogramm) erkennen, aber auch bereits an den Werten einer Häufigkeitstabelle.

Es gibt eine

  • linksschiefe Verteilung bzw. rechtssteile Verteilung: die häufigsten Messwerte sind mittlere und große Messwerte und es gibt nur wenige kleine Messwerte; die mit der Formel (unten) berechnete Schiefe ist negativ.
  • rechtsschiefe Verteilung bzw. linkssteile Verteilung: die häufigsten Messwerte sind kleinere und mittlere Messwerte und es gibt nur wenige große Messwerte; die mit der Formel (unten) berechnete Schiefe ist positiv.

Eine im Wesentlichen symmetrische Verteilung ist nicht schief; der Median bzw. Zentralwert und der arithmetische Mittelwert liegen nahe beieinander. Paradebeispiel für eine symmetrische Verteilung ist die Normalverteilung, diese hat eine Schiefe von 0; auch die diskrete und stetige Gleichverteilung sowie die t-Verteilung sind symmetrische Verteilungen und damit ohne Schiefe.

Die Schiefe kann mit folgender Formel berechnet werden:

$$Schiefe = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=0}^n \frac{(x_i - \bar x)^3}{\sigma^3} = \frac{\frac{1}{n} \cdot \sum_{i=0}^n (x_i - \bar x)^3}{\sigma^3}$$

Dabei ist n die Anzahl der Daten, xi sind die Datenwerte, $\bar x$ ist der arithmetische Mittelwert und σ ist die Standardabweichung der Grundgesamtheit (handelt es sich um eine Stichprobe, wird die Stichprobenstandardabweichung s verwendet).

Alternative Begriffe: skew / skewness (englisch).

Beispiele

Linksschiefe/rechtssteile Verteilung

Beispiel für eine linksschiefe Verteilung

Die 30 Schüler einer Klasse werden nach der Höhe ihres wöchentlichen Taschengelds gefragt; dabei ergab sich folgende Verteilung:

Häufigkeitstabelle
Taschengeld (€) 1 € 2 € 3 € 4 € 5 €
Anzahl (der Schüler) 2 3 5 12 8

Es haben also 2 Schüler ein Taschengeld von 1 €, 3 Schüler bekommen 2 € Taschengeld u.s.w.

Die Verteilung ist linksschief bzw. rechtssteil: kleine Werte (Taschengeld von 1 € oder 2 €) sind weniger häufig, am häufigsten sind die mittleren und großen Werte von 3 € (5 Schüler), 4 € (12 Schüler) und 5 € (8 Schüler).

Bei einer linksschiefen Verteilung liegt der arithmetische Mittelwert (hier wären das 3,7) unter dem Median (hier: 4); es liegen mehr Daten über dem Mittelwert als darunter.

Die mit der obigen Formel berechnete Schiefe ist gerundet -0,85.

Das Beispiel zum Histogramm zeigt eine linksschiefe Verteilung grafisch.

Rechtsschiefe/linkssteile Verteilung

Beispiel für eine rechtsschiefe Verteilung

Die 30 Schüler einer anderen Klasse haben folgende Taschengeldbeträge:

Häufigkeitstabelle
Taschengeld (€) 1 € 2 € 3 € 4 € 5 €
Anzahl (der Schüler) 8 12 5 3 2

Die Verteilung ist rechtsschief bzw. linkssteil: kleine und mittlere Werte (Taschengeld von 1 € oder 2 €) sind häufiger, große Werte seltener.

Bei einer rechtsschiefen Verteilung liegt der arithmetische Mittelwert (hier wären das 2,3) über dem Median (hier: 2).

Symmetrische Verteilung

Beispiel für eine symmetrische Verteilung

Die 30 Schüler einer weiteren Klasse haben folgende Taschengeldbeträge:

Häufigkeitstabelle
Taschengeld (€) 1 € 2 € 3 € 4 € 5 €
Anzahl (der Schüler) 3 6 12 6 3

Die Verteilung ist symmetrisch.

Bei einer symmetrischen Verteilung stimmen arithmetischer Mittelwert (hier: 3) und Median (hier: 3) überein.