Standardnormalverteilung

Standardnormalverteilung Definition

Die Standardnormalverteilung ist eine Normalverteilung, bei der Mittelwert und Erwartungswert = 0 und die Varianz sowie Standardabweichung = 1 sind.

Diese Standardnormalverteilung ist i.d.R. nicht in der Realität gegeben (z.B. ist der Mittelwert der normalverteilten Variablen "Körpergröße von Männern" natürlich nicht 0, sondern eher 1,80 m), aber durch eine einfache z-Transformation kann jede Normalverteilung in eine Standardnormalverteilung überführt werden, für die dann Wahrscheinlichkeitswerte aus der entsprechenden Standardnormalverteilung-Tabelle abgelesen werden können (und somit nicht berechnet werden müssen).

Alternative Begriffe: N(0, 1) - Normalverteilung, standardisierte Normalverteilung, Standardverteilung.

Beispiel

Beispiel Standardnormalverteilung

Für die normalverteilte Variable "Körpergröße von Männern" eines Landes sind die Parameter Erwartungswert = 1,80 m und Standardabweichung = 0,1 m bekannt.

Wenn man z.B. wissen möchte, wie hoch der Anteil der Männer mit einer Körpergröße von mehr als 1,95 m ist, nimmt man zunächst die z-Transformation bzw. Standardisierung vor:

z = (1,95 m - 1,80 m) / 0,1 m = 0,15 m / 0,1 m = 1,5.

In der Standardnormalverteilung-Tabelle kann man den Wert für 1,5 ablesen: 0,933193. D.h., gut 93,3 % der Männer liegen bzgl. der Körpergröße im Bereich bis 1,95 m und 1 - 0,933193 = 0,066807 = gerundet 6,7 % sind über 1,95 m.

In einem anderen Land wären die Männer vielleicht größer oder kleiner und Erwartungswert und Standardabweichung entsprechend anders; Die Verteilung lässt sich aber analog auf eine Standardnormalverteilung zurückführen.

Standardnormalverteilung-Tabelle

So findet man einen gesuchten Wert in der Tabelle der Standardnormalverteilung bzw. z-Wert-Tabelle (hier auf 6 Nachkommastellen gerundet): im Beispiel wurde der z-Wert 1,5 gesucht; man nimmt die Zeile, die mit 1,5 beginnt und sieht in der Spalte 0,00 nach, der gesuchte Werte kann dort abgelesen werden mit 0,933193.

Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,500000 0,503989 0,507978 0,511967 0,515953 0,519939 0,523922 0,527903 0,531881 0,535856
0,1 0,539828 0,543795 0,547758 0,551717 0,555670 0,559618 0,563559 0,567495 0,571424 0,575345
0,2 0,579260 0,583166 0,587064 0,590954 0,594835 0,598706 0,602568 0,606420 0,610261 0,614092
0,3 0,617911 0,621719 0,625516 0,629300 0,633072 0,636831 0,640576 0,644309 0,648027 0,651732
0,4 0,655422 0,659097 0,662757 0,666402 0,670031 0,673645 0,677242 0,680822 0,684386 0,687933
0,5 0,691462 0,694974 0,698468 0,701944 0,705402 0,708840 0,712260 0,715661 0,719043 0,722405
0,6 0,725747 0,729069 0,732371 0,735653 0,738914 0,742154 0,745373 0,748571 0,751748 0,754903
0,7 0,758036 0,761148 0,764238 0,767305 0,770350 0,773373 0,776373 0,779350 0,782305 0,785236
0,8 0,788145 0,791030 0,793892 0,796731 0,799546 0,802338 0,805106 0,807850 0,810570 0,813267
0,9 0,815940 0,818589 0,821214 0,823814 0,826391 0,828944 0,831472 0,833977 0,836457 0,838913
1,0 0,841345 0,843752 0,846136 0,848495 0,850830 0,853141 0,855428 0,857690 0,859929 0,862143
1,1 0,864334 0,866500 0,868643 0,870762 0,872857 0,874928 0,876976 0,878999 0,881000 0,882977
1,2 0,884930 0,886860 0,888767 0,890651 0,892512 0,894350 0,896165 0,897958 0,899727 0,901475
1,3 0,903199 0,904902 0,906582 0,908241 0,909877 0,911492 0,913085 0,914656 0,916207 0,917736
1,4 0,919243 0,920730 0,922196 0,923641 0,925066 0,926471 0,927855 0,929219 0,930563 0,931888
1,5 0,933193 0,934478 0,935744 0,936992 0,938220 0,939429 0,940620 0,941792 0,942947 0,944083
1,6 0,945201 0,946301 0,947384 0,948449 0,949497 0,950529 0,951543 0,952540 0,953521 0,954486
1,7 0,955435 0,956367 0,957284 0,958185 0,959071 0,959941 0,960796 0,961636 0,962462 0,963273
1,8 0,964070 0,964852 0,965621 0,966375 0,967116 0,967843 0,968557 0,969258 0,969946 0,970621
1,9 0,971284 0,971933 0,972571 0,973197 0,973810 0,974412 0,975002 0,975581 0,976148 0,976705
2,0 0,977250 0,977784 0,978308 0,978822 0,979325 0,979818 0,980301 0,980774 0,981237 0,981691
2,1 0,982136 0,982571 0,982997 0,983414 0,983823 0,984222 0,984614 0,984997 0,985371 0,985738
2,2 0,986097 0,986447 0,986791 0,987126 0,987455 0,987776 0,988089 0,988396 0,988696 0,988989
2,3 0,989276 0,989556 0,989830 0,990097 0,990358 0,990613 0,990863 0,991106 0,991344 0,991576
2,4 0,991802 0,992024 0,992240 0,992451 0,992656 0,992857 0,993053 0,993244 0,993431 0,993613
2,5 0,993790 0,993963 0,994132 0,994297 0,994457 0,994614 0,994766 0,994915 0,995060 0,995201
2,6 0,995339 0,995473 0,995603 0,995731 0,995855 0,995975 0,996093 0,996207 0,996319 0,996427
2,7 0,996533 0,996636 0,996736 0,996833 0,996928 0,997020 0,997110 0,997197 0,997282 0,997365
2,8 0,997445 0,997523 0,997599 0,997673 0,997744 0,997814 0,997882 0,997948 0,998012 0,998074
2,9 0,998134 0,998193 0,998250 0,998305 0,998359 0,998411 0,998462 0,998511 0,998559 0,998605
3,0 0,998650 0,998694 0,998736 0,998777 0,998817 0,998856 0,998893 0,998930 0,998965 0,998999
3,1 0,999032 0,999064 0,999096 0,999126 0,999155 0,999184 0,999211 0,999238 0,999264 0,999289
3,2 0,999313 0,999336 0,999359 0,999381 0,999402 0,999423 0,999443 0,999462 0,999481 0,999499
3,3 0,999517 0,999533 0,999550 0,999566 0,999581 0,999596 0,999610 0,999624 0,999638 0,999650
3,4 0,999663 0,999675 0,999687 0,999698 0,999709 0,999720 0,999730 0,999740 0,999749 0,999758
3,5 0,999767 0,999776 0,999784 0,999792 0,999800 0,999807 0,999815 0,999821 0,999828 0,999835
3,6 0,999841 0,999847 0,999853 0,999858 0,999864 0,999869 0,999874 0,999879 0,999883 0,999888

Die Tabelle zeigt die kumulierten Wahrscheinlichkeiten bis zu dem jeweiligen Wert, z.B. für den Wert 2,5 die kumulierte Wahrscheinlichkeit 0,993790.

Möchte man die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass die standardnormalverteilte Zufallsvariable > 2,5 ist, muss man rechnen: 1 - 0,993790 = 0,00621 (ca. 0,62 %).

Dichte der Standardnormalverteilung

Die Dichte f(x) der Standardnormalverteilung sieht so aus (Glockenkurve):

Dichte der Standardnormalverteilung

Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung

Die Verteilungsfunktion φ(x) – mit φ als der griechische Buchstabe Phi – der Standardnormalverteilung sieht so aus:

Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung