Stetige Gleichverteilung

Stetige Gleichverteilung Definition

Bei einer stetigen Gleichverteilung ist jeder Wert der Zufallsvariablen X in einem vorgegebenen Intervall gleichwahrscheinlich.

Umfasst das Intervall den Bereich [a, b], gilt:

  • die Wahrscheinlichkeitsdichte (Dichtefunktion) f (x) ist: 1 / (b - a) für x-Werte innerhalb des Intervalls, o sonst;
  • die kumulative Dichtefunktion F(x) ist: (x - a) / (b - a) für x-Werte innerhalb des Intervalls, o sofern x < a und 1 sofern x >= b ist;
  • der Erwartungswert E(X) ist: (a + b) / 2;
  • die Varianz Var (X) ist: (b - a)2 / 12.

Alternative Begriffe: Rechteckverteilung, uniforme Verteilung, Uniformverteilung.

Beispiel

Beispiel: Stetige Gleichverteilung

Eine U-Bahn-Linie kommt bei einer Haltestelle alle 10 Minuten.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für einen zufällig an der Haltestelle auftauchenden U-Bahn-Fahrgast, mehr als 7 Minuten warten zu müssen?

Es handelt sich um eine stetige Gleichverteilung: der Fahrgast kann zu jeder beliebigen Zeit an der Haltestelle auftauchen. Die Zufallsvariable X ist die Wartezeit in Minuten und die Zufallsvariable ist stetig gleichverteilt im Intervall 0 bis 10 Minuten.

Die Dichtefunktion ist (für Werte innerhalb des Intervalls): 1 / (10 - 0) = 1/10.

Der Erwartungswert E (X) der Wartezeit ist: (a + b) / 2 = (0 + 10) / 2 = 5 (Minuten).

Die Varianz Var (X) der Wartezeit ist: (b - a)2 / 12 = (10 - 0)2 / 12 = 100/12 = 8,33 (Minuten im Quadrat). Daraus ergibt sich eine Standardabweichung der Wartezeit als Wurzel der Varianz von 2,89 Minuten.

Die obige Frage kann über die Gegenwahrscheinlichkeit – die Wahrscheinlichkeit, dass der Fahrgast höchstens 7 Minuten warten muss – gelöst werden: die kumulative Dichtefunktion ist (für Werte innerhalb des Intervalls): F (x = 7) = (7 - 0) / (10 - 0) = 7/10 = 0, 7 = 70 %.

Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Fahrgast höchstens 7 Minuten warten muss. Die Wahrscheinlichkeit, dass er länger warten muss, ist die Gegenwahrscheinlichkeit: 1 - 0,7 = 0,3 = 30 %.