Tschebyscheff-Ungleichung

Tschebyscheff-Ungleichung Definition

Die Tschebyscheff-Ungleichung erlaubt Schätzungen, mit welchen Wahrscheinlichkeiten Messwerte vom Erwartungswert entfernt liegen können bzw. mit welchen Wahrscheinlichkeiten Bandbreiten verlassen werden.

Als Formel: P(|X - E(X)| >= t) <= Var (X)/t2

In Worten: Die Wahrscheinlichkeit P, dass die absolute Differenz (nach oben und unten) zwischen der Zufallsvariablen X und deren Erwartungswert E(X) größer als ein vorgegebener Wert t ist, ist gleich der Varianz geteilt durch t im Quadrat.

Beispiel

Beispiel Tschebyscheff-Ungleichung

Die Semmeln eines Bäckers sollen 50 Gramm wiegen. Eine stichprobenartige Überprüfung durch ein externes Institut lieferte einen Erwartungswert für das Gewicht von 50 gr mit einer Varianz von 10.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass man eine Semmel kauft, die mehr als 10 % über oder mehr als 10 % unter dem Sollgewicht von 50 gr liegt, also mehr als 55 gr oder weniger als 45 gr wiegt?

P (|X - 50| >= 5) <= 10/52 = 10/25 = 0,40 = 40 %.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Semmel um mehr als 5 gr nach oben oder unten vom Sollgewicht von 50 gr abweicht, ist höchstens 40 %, d.h. 40 % oder weniger.

Es handelt sich um eine Ungleichung, die im Gegensatz zu einer Gleichung keine eindeutige Lösung hat, sondern lediglich eine Höchstwahrscheinlichkeit bzw. eine Wahrscheinlichkeitsgrenze bestimmt.