Variation

Variation Definition

Variationen im Rahmen der Kombinatorik beziehen sich auf Auswahlprobleme, bei denen die Reihenfolge der Auswahl eine Rolle spielt (im Gegensatz zur Kombination).

Typische Beispiele wären die Anzahl der Möglichkeiten, ein Zahlenschloss einzustellen oder die Anzahl der Möglichkeiten, ein Kfz-Kennzeichen zu bilden.

Die Variation wird auch als k-Permutation bezeichnet: es werden nicht wie bei einer normalen Permutation alle Elemente angeordnet, sondern nur eine Auswahl von k Elementen.

Beispiel

Variation ohne Wiederholung (Ziehen ohne Zurücklegen)

Beispiel: Berechnung der Variationen

Ein Trainer soll aus 3 Sportlern (Adam, Bernd und Carl, im folgenden mit ihren Anfangsbuchstaben abgekürzt) 2 Sportler als Team für einen Sportwettbewerb auswählen. Dabei soll es auf die Reihenfolge, in welcher der Trainer die 2 Sportler auswählt, ankommen: der zuerst ausgewählte ist der Teamkapitän, der als zweites ausgewählte ist ein einfacher Spieler.

Wieviele unterschiedliche Teamvariationen sind möglich?

Hier handelt es sich um eine sog. Variation ohne Wiederholung (auch als Ziehen ohne Zurücklegen oder geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen bezeichnet), da ein bei der ersten Auswahl des Trainers einmal ausgewählter Sportler bei der nächsten (zweiten) Auswahl nicht mehr ausgewählt werden kann.

Formel

Die Anzahl der Variationen ist (mit ! als Zeichen für Fakultät): 3 ! / (3 - 2) ! = 3 ! / 1 ! = (3 × 2 × 1) / 1 = 6 / 1 = 6.

Allgemein als Formel mit m = Anzahl der auszuwählenden (hier: 2 Sportler) aus n Auswahlmöglichkeiten (hier: 3 Sportler): n ! / (n -m) !.

Mit dem Taschenrechner: 3:2 eingeben und die nPr-Taste aktivieren, ergibt 6.

Ausgezählt sind die Variationsmöglichkeiten:

  • A B
  • A C
  • B C
  • B A
  • C A
  • C B

Alternativ kann auch folgende Formel mit dem Binomialkoeffizienten verwendet werden:

$$\binom{n}{m} \cdot m! = \binom{3}{2} \cdot 2! = 3 \cdot 2 = 6$$

Variation mit Wiederholung (Ziehen mit Zurücklegen, geordnete Stichprobe mit Zurücklegen)

Beispiel: Variation mit Wiederholung

Aus den Zahlen 1 bis 3 sollen 2 ausgewählt werden. Dabei dürfen Zahlen auch mehrmals verwendet werden ("mit Wiederholung" — im Gegensatz zu oben, wo ein einmal ausgewählter Spieler nicht nochmals ausgewählt werden konnte).

Dann wäre die Anzahl der Variationsmöglichkeiten: 32 = 9.

Allgemein als Formel mit m = Anzahl der auszuwählenden aus n Auswahlmöglichkeiten: nm.

Ausgezählt sind die Variationsmöglichkeiten bei der Variation mit Wiederholung:

  • 1 1
  • 1 2
  • 1 3
  • 2 1
  • 2 2
  • 2 3
  • 3 1
  • 3 2
  • 3 3

Zahlenschloss

Bei einem Zahlenschloss kann man je Stelle eine aus 10 möglichen Zahlen (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) auswählen (mit der hier unnötigen Formel für die Auswahl von einer aus 10 Zahlen sind die Möglichkeiten je Stelle des Zahlenschlosses 101 = 10).

Bei einem 4-stelligen Zahlenschloss gibt es somit 10 × 10 × 10 × 10 = 104 = 10.000 Möglichkeiten (die Zahlen können wiederholt werden, es ist z.B. auch die Zahlenschlosseinstellung "1111" möglich).

Kennzeichen

Angenommen, die Kennzeichen eines Zulassungsbezirks bestünden aus 2 Buchstaben (mit jeweils 26 möglichen Buchstaben A bis Z) und 4 Ziffern (mit jeweils 10 möglichen Ziffern 0 bis 9).

Dann wäre die mögliche Anzahl von Kennzeichen: $$26^2 \cdot 10^4 = 676 \cdot 10.000 = 6.760.000.$$

Hinweis: in Deutschland sind einige Buchstabenkombinationen nicht zulässig, so dass die tatsächliche Anzahl der Möglichkeiten geringer ist.