Verschiebungssatz

Verschiebungssatz Definition

Der Verschiebungssatz erlaubt eine alternative Berechnung der Varianz.

Nach dem Verschiebungssatz gilt: Varianz = Erwartungswert der quadrierten Variablen minus dem quadrierten Erwartungswert der Variablen.

Als Erwartungswert kann man hier auch den arithmetischen Mittelwert (Durchschnittswert) verwenden.

Beispiel

Beispiel: Varianz mit Verschiebungssatz berechnen

In Fortsetzung des Beispiels zur Varianz: Der arithmetische Mittelwert bzw. Erwartungswert des Alters der 5 Kinder (im Alter von 1, 3, 5, 9 und 12 Jahren) war 6 Jahre, die Varianz war 16.

Die 5 Kinder mit den 5 unterschiedlichen Altern haben jeweils einen Anteil (bzw. eine Wahrscheinlichkeit) von 0,2 bzw. 20 %.

Der Erwartungswert / Durchschnittswert der quadrierten Variablen ist: 12 × 0,2 + 32 × 0,2 + 52 × 0,2 + 92 × 0,2 + 122 × 0,2 = 0,2 + 1,8 + 5 + 16, 2 + 28,8 = 52.

Dann ist die Varianz nach dem Verschiebungssatz: 52 - 62 = 52 - 36 = 16.

Das Ergebnis entspricht der direkt ermittelten Varianz.