Weibull-Verteilung

Weibull-Verteilung Definition

Die Weibull-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die häufig für die Analyse von Lebensdauern von z.B. Maschinen oder Bauteilen verwendet wird.

Die Verteilungsfunktion der Weibullverteilung gibt an, wie wahrscheinlich es ist, dass höchstens eine bestimmte Lebensdauer erreicht wird (z.B. die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bauteil maximal 5 Jahre hält).

Beispiel

Beispiel: Weibull-Verteilung

Die Lebensdauer t eines Automotors sei weibullverteilt. Die charakteristische Lebensdauer T sei 10 Jahre und der sog. Formparameter β sei 2.

Der Formparameter spiegelt die Entwicklung der Ausfälle wider: ist der Formparameter β wie im Beispiel > 1, handelt es sich um eine zunehmende Ausfallrate. Ist der Formparameter β = 1, liegt eine Exponentialverteilung vor.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Motor im 1. Jahr ausfällt?

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion der Weibullverteilung lautet:

$$F(t) = \begin {cases} 1 - e^{-(\frac{t}{T})^\beta} & t \geq 0 \\ 0 & t \lt 0 \end {cases}$$

Wahrscheinlichkeit berechnen

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Motor bereits im 1. Jahr ausfällt ist:

$$F(1) =1 - e^{-(\frac{1}{10})^2} = 1 - e^{-\frac{1}{100}} = 1 - 0,990049834 = 0,009950166.$$

Die Wahrscheinlichkeit ist mit knapp 1 % also sehr gering.