Zinseszins

Zinseszinsrechnung

Die Zinseszinsrechnung bezieht Zinsen auf die erzielten Zinsen mit ein.

Der Zinseszinseffekt wirkt dann, wenn die erzielten Zinsen nicht ausbezahlt sondern stehen gelassen werden, so dass sie im darauffolgenden Jahr mitverzinst werden.

Mit der Zinseszinsformel lässt sich durch Aufzinsung das nach einer Anzahl von Jahren zur Verfügung stehende verzinste Kapital berechnen.

Alternative Begriffe: exponentielle Verzinsung.

Zinseszins Beispiel

Beispiel: Verzinsung mit Zinseszins

Ein Anleger legt am 1. Januar 2012 für 3 Jahre (d.h., bis zum 31. Dezember 2014) 100.000 Euro in Festgeld an, die jährliche Verzinsung beträgt 4 % und wird jeweils zum Jahresende dem Festgeldkonto gutgeschrieben.

Der Anleger erhält somit

  • im 1. Jahr (am 31.12.2012) 4.000 Euro Zinsen (4 % × 100.000 Euro);
  • im 2. Jahr (am 31.12.2013) dann bereits – jetzt inklusive Zinseszins (also Zins auf die stehen gelassenen Zinsen des Vorjahrs) – 4.160 Euro (4 % × 104.000 Euro) und
  • im 3. Jahr (am 31.12.2014) wiederum inklusive Zinseszins 4.326,40 Euro (4 % × 108.160 Euro).

Der Anlagebetrag inkl. Zinseszins nach 3 Jahren ist 100.000 Euro + 4.000 Euro + 4.160 Euro + 4.326,40 Euro = 112.486,40 Euro.

Ohne Zinseszins

Ohne Zinseszins würde der Anleger jährlich 4.000 Euro erhalten. Die Zinsen würden nicht stehen gelassen, sondern ausbezahlt.

Zinseszinsberechnung

Der Anlagebetrag inkl. Zinseszins lässt sich mit der Formel für die Aufzinsung berechnen:

Zinseszinsformel

Wn = W0 × (1 + i)n = 100.000 Euro × (1,04)3 = 112.486,40 Euro.

Dabei ist (1 + i) bzw. 1,04 der Zinsfaktor (der Wachstumsfaktor des Kapitals).

Zinseszins als Exponentialfunktion

Mathematisch gesehen ist die Zinseszinsformel eine Exponentialfunktion. Mit Hilfe des Logarithmus (als deren Umkehrfunktion) kann z.B. berechnet werden, nach wie vielen Jahren sich das Kapital verdoppelt hat.

Bei einer Kapitalverdopplung durch Zinseszins unter dem obigen Zinssatz von 4 % muss gelten:

1,04n = 2 (mit n als gesuchte Anzahl von Jahren)

n = log1,042 (Logarithmus von 2 zur Basis 1,04)

n = log102 / log101,04 = 0,301029996 / 0,017033339 = 17,67298769 = 17,673 Jahre (gerundet).

Logarithmen zur Basis 10 können mit dem Taschenrechner mittels der LOG-Taste berechnen werden (z.B. 2 LOG ergibt 0,301029996).

Kontrollrechnung

1,0417,673 = 2.

Bei einem Zinssatz von 4 % verdoppelt sich das Kapital durch den Zinseszinseffekt in knapp 18 Jahren.

Nach der doppelten Zeit (35,346 Jahre) hat sich das Kapital vervierfacht u.s.w.

Kontext: