t-Test

t-Test Definition

Der t-Test kann angewendet werden, wenn eine Normalverteilung (mit den beiden unbekannten Parametern Erwartungswert μ und Varianz σ2) vorliegt.

Die Teststatistik der t-Verteilung wird mit folgender Formel berechnet:

$$t = \sqrt{n} \cdot \frac{(\bar x - \mu)}{s}$$

Dabei ist n der Stichprobenumfang, $\bar x$ der Mittelwert der Stichprobendaten, μ der Erwartungswert (bzw. der Vorgabewert für den Mittelwert der Grundgesamtheit) und s die Standardabweichung der Stichprobe.

Man unterscheidet den Einstichproben-t-Test (siehe unten) sowie den Zweistichproben-t-Test (als gepaarten oder ungepaarten t-Test).

Alternative Begriffe: Student-t-Test.

Beispiel: t-Test

Beispiel für Einstichproben-t-Test

In einer Molkerei werden 1-Liter-Milchflaschen abgefüllt. Es wird eine Normalverteilung derart angenommen, dass die Milchflaschen mit 1 Liter gefüllt sind, kleinere Abweichungen (z.B. um 0,01 l auf 1,01 l) kommen öfters vor, größere (z.B. um -0,05 l auf 0,95 l) weniger oft.

Es wird eine Stichprobe von 10 Flaschen gezogen, um zu kontrollieren, ob die Füllmenge korrekt ist (zweiseitiger Test: es soll weder zu wenig noch zu viel abgefüllt sein). Das Signifikanzniveau α wird auf 0,05 bzw. 5 % festgelegt.

Die gemessenen Mengen in der Stichprobe sind (in Liter): 0,95 / 1,05 / 0,97 / 0,98 / 0,99 / 1,01 / 1,02 / 0,99 / 1,00 und 1,14.

Hypothesen aufstellen

Die Nullhypothese H0 lautet: μ = 1,00 Liter.

Die Alternativhypothese H1 lautet entsprechend: μ ungleich 1,00 Liter.

Berechnung der Werte für die Formel der t-Teststatistik

Der arithmetische Mittelwert der Stichprobe ist 1,01 Liter.

Die Standardabweichung der Stichprobe ist 0,05333333.

Diese Werte eingesetzt in die Formel der Teststatistik ergibt:

$$t = \sqrt{10} \cdot \frac{(1,01 - 1,00)}{0,05333333} = 0,59293$$

Annahme- und Ablehnungsbereich bestimmen

Für diesen zweiseitigen Test ist laut der Tabelle für die t-Verteilung (mit 10 - 1 = 9 Freiheitsgraden und 0,975 für 1 - α/2) der kritische Grenzwert t9, 0,975 = 2,2622, d.h. der Ablehnungsbereich umfasst (-∞, -t0,975) und (t0,975, ∞), das entspricht (-∞, -2,2622) und (2,2622, ∞)

Testentscheidung treffen

Da die Teststatistik mit 0,59293 nicht im Ablehnungsbereich liegt, wird die Nullhypothese nicht verworfen.