t-Verteilung

t-Verteilung Definition

Die t-Verteilung ist eine stetige Verteilung und ähnelt in der Form der Glockenkurve der Normalverteilung bzw. Standardnormalverteilung, ist aber niedriger und breiter; d.h., die Daten streuen breiter um den Mittelwert (die Standardabweichung ist größer).

Die t-Verteilung kann verwendet werden, wenn die Varianz bzw. Standardabweichung der Grundgesamtheit nicht bekannt ist (wodurch die Anwendung des Gauß-Tests verhindert wird).

Voraussetzungen für die Anwendung der t-Verteilung:

  • die Grundgesamtheit muss zumindest annähernd normalverteilt sein (in dem Fall kann auch mit kleinen Stichproben gearbeitet werden) oder
  • der Stichprobenumfang der Zufallsstichprobe muss >= 30 sein; mit steigendem Stichprobenumfang nähert sich die t-Verteilung der Normalverteilung immer mehr an.

Die Werte der t-Verteilung hängen von der Anzahl der Freiheitsgrade ab: ist der Stichprobenumfang z.B. 20, ist die Anzahl der Freiheitsgerade 20 - 1 = 19. Der Erwartungswert / Mittelwert der t-Verteilung ist 0, die Standardabweichung bzw. die Streuung der t-Verteilung nimmt mit zunehmender Anzahl der Freiheitsgrade ab (und umso ähnlicher wird sie dadurch der Standardnormalverteilung).

Die t-Verteilung ist die Grundlage für den t-Test.

Alternative Begriffe: Student-t-Verteilung, Studentische t-Verteilung, Studentverteilung.

t-Verteilung Tabelle

In der folgenden t-Verteilungstabelle stehen in den Zeilen die Freiheitsgrade, in den Spalten die dazugehörigen p-Quantile 0,9 / 0,95 / 0,975 / 0,99 der t-Verteilung.

Ist der Stichprobenumfang z.B. 10, sind damit die Freiheitsgrade 10 - 1 = 9. Ist das Signifikanzniveau α 0,05, ist bei einem zweiseitigen Test das p-Quantll der t-Verteilung für 0,975 (1 - α/2 = 1 - 0,025 = 0,975; vorletzte Spalte) gesucht: der Wert für t9, 1 - α/2 = t9, 0,975 in der Tabelle ist 2,2622.

D.h., bei einer t-Verteilung mit 9 Freiheitsgraden liegen nur jeweils 2,5 % über dem kritischen Wert von 2,2622 bzw. unter -2,2622 (da die t-Verteilung symmetrisch ist); 95 % liegen im Intervall - 2,2622 bis 2,2622.

t-Verteilung Tabelle
0,9 0,95 0,975 0,99
1 3,0777 6,3138 12,7062 31,8205
2 1,8856 2,9200 4,3027 6,9646
3 1,6377 2,3534 3,1824 4,5407
4 1,5332 2,1318 2,7764 3,7469
5 1,4759 2,0150 2,5706 3,3649
6 1,4398 1,9432 2,4469 3,1427
7 1,4149 1,8946 2,3646 2,9980
8 1,3968 1,8595 2,3060 2,8965
9 1,3830 1,8331 2,2622 2,8214
10 1,3722 1,8125 2,2281 2,7638
11 1,3634 1,7959 2,2010 2,7181
12 1,3562 1,7823 2,1788 2,6810
13 1,3502 1,7709 2,1604 2,6503
14 1,3450 1,7613 2,1448 2,6245
15 1,3406 1,7531 2,1314 2,6025
16 1,3368 1,7459 2,1199 2,5835
17 1,3334 1,7396 2,1098 2,5669
18 1,3304 1,7341 2,1009 2,5524
19 1,3277 1,7291 2,0930 2,5395
20 1,3253 1,7247 2,0860 2,5280