Äquivalenzrelation
Äquivalenzrelation Definition
Eine Äquivalenzrelation ist eine Relation, die zugleich 1) reflexiv, 2) symmetrisch und 3) transitiv ist.
Dabei bedeutet:
- reflexiv: jedes Element der Relation steht in Relation zu sich selbst;
- symmetrisch: die Relation zwischen a und b ist identisch mit der Relation zwischen b und a;
- transitiv: eine Relation, die zwischen a und b sowie zwischen b und c besteht, besteht auch für a und c.
Beispiel
Beispiel Äquivalenzrelation
a und b seien natürliche Zahlen (also 0, 1, 2, 3, 4 ...) und die Relationsvorschrift sei a = b ("Gleichheit").
Diese Relation ist reflexiv, denn für alle a aus den natürlichen Zahlen gilt a = a.
Die Relation ist symmetrisch, denn für alle a und b aus den natürlichen Zahlen gilt: a = b ist identisch mit b = a.
Die Relation ist transitiv, denn für alle a, b, c aus den natürlichen Zahlen gilt: aus a = b und b = c folgt a = c.
Es ist deshalb eine Äquivalenzrelation.
Das kommt einem alles sehr selbstverständlich vor, aber mit der Relationsvorschrift a < b ("kleiner als") wäre zum Beispiel keine Reflexivität (a < a geht nicht) und Symmetrie (a < b ist nicht identisch mit b < a) gegeben.