Betragsfunktion

Betragsfunktion Definition

Die Betragsfunktion ordnet einer Zahl dieselbe Zahl ohne (negatives) Vorzeichen zu; das Ergebnis – der Betrag einer Zahl oder Absolutbetrag – ist nie negativ.

Beispiel

Die Betragsfunktion f(x) = |x| ordnet der Zahl -5 die Zahl 5 zu; der Zahl 5 ordnet sie (ebenfalls) die Zahl 5 zu.

Negative Zahlen werden somit zu gleichhohen positiven Zahlen, während positive Zahlen (und die 0) unverändert bleiben.

Das kann man z.B. bei der Messung von Abständen bzw. der Analyse von manchen Abweichungen gebrauchen.

Es kommt darauf an: teilweise sind positive und negative Abweichungen einfach Abstände vom Soll-Zustand und "gleich schlecht" (z.B. wenn Schrauben zu kurz oder zu lang produziert sind) und es wird einfach die mittlere Abweichung zur Qualitätskontrolle berechnet.

Oft macht es aber einen Unterschied und man will z.B. erfassen, ob die Umsätze positiv von der Planung abweichen (sehr schön) oder negativ (Maßnahmen sind zu ergreifen). Hier lässt man die Vorzeichen der Abweichungen und wendet die Betragsfunktion nicht an.

Die Betragsfunktion hat ein paar Besonderheiten:

• Sie ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar;
• Ihr Minimum ist bei x = 0 mit einem Funktionswert y = 0; dieser Tiefpunkt kann aber nicht wie üblich über das Gleichsetzen der 1. Ableitung mit 0 gefunden werden, da die 1. Ableitung bei 0 nicht existiert (nicht differenzierbar an der Stelle).