Komplexe Zahlen dividieren

Komplexe Zahlen dividieren

Komplexe Zahlen in kartesischer Form kann man dividieren, indem man einen kleinen Umweg über die konjugiert komplexe Zahl des Nenners geht.

Beispiel

Es soll die komplexe Zahl 1 + 2i durch die komplexe Zahl 1 - i dividiert werden:

$$\frac{1 + 2i}{1 - i}$$

Zähler und Nenner erweitern um die konjugiert komplexe Zahl des Nenners (diese ist 1 + i, d.h. der Nennerterm mit Vorzeichenwechsel vor dem Imaginärteil):

$$\frac{(1 + 2i) \cdot (1 + i)}{(1 - i) \cdot (1 + i)}$$

Dadurch wird der Nenner über mehrere Umformungen reell (weiter unten mit der 2 im Nenner):

$$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot i + 2i \cdot 1 + 2i \cdot i}{1 \cdot 1 + 1 \cdot i - i \cdot 1 - i \cdot i}$$

$$=\frac{1 + 3i + 2i^2 }{1 - i^2}$$

Mit $i^2 = -1$ per Definition der komplexen Zahlen:

$$=\frac{1 + 3i +2 \cdot (-1)}{1 - (-1)}$$

$$=\frac{1 + 3i -2 }{1 + 1}$$

$$=\frac{-1 + 3i}{2}$$

$$=-\frac{1}{2} + \frac{3}{2}i$$