Riemann-Integral

Riemann-Integral Definition

Das nach dem Mathematiker Riemann benannte Riemann-Integral ist eine Methode, numerisch zu integrieren.

Die Grundidee:

Das Integral ist die Fläche zwischen der (oft krummlinigen) Funktionskurve und der waagrechten x-Achse in einem Intervall (inkl. "negativer Flächen", wenn die Funktionskurve unter die x-Achse abtaucht) und diese Fläche möchte man berechnen.

Nehmen wir an, die Kurve verläuft im Bereich 0 bis 5 (cm oder Kästchen in einem Koordinatensystem auf kariertem Papier). Dann kann man das Intervall von 0 bis 5 z.B. in 5 Intervalle von je 1 cm (oder Kästchen) Länge einteilen: 0 bis 1, 1 bis 2, 2 bis 3, 3 bis 4 und 4 bis 5.

In jedem Teilintervall kann man nun folgendes tun (am Beispiel des 1. Intervalls von 0 bis 1): man zeichnet ein Rechteck ein, das genau unterhalb der Kurve bleibt (die Höhe dieses Rechtecks entspricht dem Funktionswert an der unteren Intervallgrenze, also hier an der Stelle x = 0; die Breite entspricht dem Teilintervall von 1). Anschließend zeichnet man (am besten in einer Kopie, da man sonst das erste Rechteck übermalt) ein Rechteck ein, das genau oberhalb der Kurve bleibt (die Höhe dieses Rechtecks entspricht dem Funktionswert an der oberen Intervallgrenze, also hier an der Stelle x = 1; die Breite entspricht wieder dem Teilintervall von 1).

Die Flächen von Rechtecken kann man leicht berechnen (und für die anderen Teilintervalle müsste man sie ebenso berechnen und dann die Summe bilden). Das sind aber nur Näherungen: die Fläche des ersten Rechtecks (sogenannte Untersumme) ist etwas zu klein, die Fläche des zweiten Rechtecks (sogenannte Obersumme) ist etwas zu groß – die tatsächliche Fläche liegt irgendwo dazwischen.

Indem man die Teilintervalle bzw. Rechtecksbreiten immer kleiner macht (z.B. 10 Intervalle mit 0,5 cm oder 50 Intervalle mit 0,1 cm), kommt man aber immer näher heran an den echten Wert und über einen Grenzwert erhält man dann die Fläche.

Das Riemann-Integral ist eine Herangehensweise an die Idee des Integrals, eine andere ist das Lebesgue-Integral.

Alternative Begriffe: Riemannsches Integral.