Wurzeln dividieren
Wurzeln dividieren Definition
Wurzeln kann man dividieren und damit unter eine gemeinsame Wurzel bringen.
Wie einfach das geht, hängt davon ab, ob die Wurzeln
- gleichnamig sind (beispielsweise zwei Quadratwurzeln, also beide zweite Wurzeln)
- oder nicht (beispielsweise eine Quadratwurzel und eine Kubikwurzel, also eine zweite Wurzel und eine dritte Wurzel).
Nicht-gleichnamige Wurzeln muss man dann zunächst gleichnamig machen.
Zwei Schreibweisen für die Wurzeldivision
Es gibt zwei Schreibweisen für die Wurzeldivision:
Als Bruch:
$$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$$
Oder mit dem Doppelpunkt als Geteiltzeichen (oder anderen Divisionszeichen):
$$\sqrt[n]{a} : \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a : b}$$
Alternative Begriffe: Division von Wurzeln, Wurzeln geteilt rechnen, Wurzeln teilen.
Beispiel
Beispiel: Wurzeln dividieren
Gleichnamige Wurzeln
Sind die Wurzeln gleichnamig, also zum Beispiel alles Quadratwurzeln oder alles Kubikwurzeln, werden sie so dividiert:
$$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$$
Mit ein paar Zahlen, zum Beispiel a = 4, b = 9, beide als Quadratwurzeln:
$$\frac{\sqrt[2]{4}}{\sqrt[2]{9}} = \sqrt[2]{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$$
Kontrolle (ohne Wurzelgesetz einfach ausgerechnet):
$$\frac{\sqrt[2]{4}}{\sqrt[2]{9}} = \frac{2}{3}$$
Nicht gleichnamige Wurzeln
Sind die Wurzeln nicht gleichnamig, sollen also zum Beispiel eine Quadratwurzel und eine Kubikwurzel dividiert werden, müssen sie zuerst gleichnamig gemacht werden, zum Beispiel:
$$\frac{\sqrt[2]{a}}{\sqrt[3]{b}}$$
Das kleinste gemeinsame Vielfache von 2 und 3 ist 6. Deshalb werden beide Wurzeln auf die 6. Wurzel erweitert, zum Ausgleich werden die Werte unter der Wurzel entsprechend angepasst:
$$\frac{\sqrt[2 \cdot 3]{a^3}}{\sqrt[3 \cdot 2]{b^2}} = \sqrt[6]{\frac{a^3}{b^2}}$$
Erläuterung: wenn man die Wurzel oben im Zähler von der 2. Wurzel auf die 6. Wurzel bringen möchte, muss man mit 3 multiplizieren; diesen Faktor 3 erhält der Radikand a unter der Wurzel als Exponenten; analog bei der Wurzel im Nenner.
Mit ein paar Zahlen, zum Beispiel a = 4, b = 27:
$$\frac{\sqrt[6]{4^3}}{\sqrt[6]{27^2}} = \sqrt[6]{\frac{64}{729}} = \frac{2}{3}$$
Kontrolle (ohne Wurzelgesetz einfach ausgerechnet):
$$\frac{\sqrt[2]{4}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3}$$