Wurzeln multiplizieren

Beispiel: Wurzeln multiplizieren

Gleichnamige Wurzeln

Sind die Wurzeln gleichnamig, also zum Beispiel alles Quadratwurzeln oder alles Kubikwurzeln, werden sie so multipliziert:

$$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$$

Mit ein paar Zahlen, zum Beispiel a = 4, b = 9, beide als Quadratwurzeln:

$$\sqrt[2]{4} \cdot \sqrt[2]{9} = \sqrt[2]{4 \cdot 9} = \sqrt[2]{36} = 6$$

Kontrolle (ohne Wurzelgesetz einfach ausgerechnet):

$$\sqrt[2]{4} \cdot \sqrt[2]{9} =2 \cdot 3 = 6$$

Nicht gleichnamige Wurzeln

Sind die Wurzeln nicht gleichnamig, sollen also beispielsweise eine Quadratwurzel und eine Kubikwurzel multipliziert werden, müssen sie zuerst gleichnamig gemacht werden, zum Beispiel:

$$\sqrt[2]{a} \cdot \sqrt[3]{b}$$

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 2 und 3 ist 6. Deshalb werden beide Wurzeln auf die 6. Wurzel erweitert, zum Ausgleich werden die Werte unter der Wurzel entsprechend angepasst:

$$\sqrt[2 \cdot 3]{a^3} \cdot \sqrt[3 \cdot 2]{b^2} = \sqrt[6]{a^3 \cdot b^2}$$

Mit ein paar Zahlen, zum Beispiel a = 4, b = 27:

$$\sqrt[2]{4} \cdot \sqrt[3]{27} = \sqrt[6]{4^3} \cdot \sqrt[6]{27^2} = \sqrt[6]{4^3 \cdot 27^2}$$

$$= \sqrt[6]{64\cdot 729} = \sqrt[6]{46656} = 6$$

Kontrolle (ohne Wurzelgesetz einfach ausgerechnet):

$$\sqrt[2]{4} \cdot \sqrt[3]{27} = 2 \cdot 3 = 6$$