Rang einer Matrix

Rang einer Matrix Definition

Der Rang einer Matrix ist die höchste Anzahl der linear unabhängigen Zeilen bzw. Spalten.

Grundidee

In einer Bäckerei kauft ein Kunde eine Semmel und bezahlt dafür 0,50 €. Anschließend kauft ein zweiter Kunde eine Breze für 0,70 €.

Als Matrix A könnte man das so darstellen:

$$A = \begin{pmatrix}1 & 0,50 \\ 1 & 0,70 \end{pmatrix}$$

Die Zeilen der Matrix enthalten also links die Stückzahl und rechts den Preis.

Die Matrix enthält somit 2 Informationen: was eine Semmel kostet und was eine Breze kostet.

Angenommen, der zweite Kunde kauft keine Breze, sondern 2 Semmeln und bezahlt dafür 1,00 € (erster Kunde bleibt identisch).

Als Matrix B:

$$B = \begin{pmatrix}1 & 0,50 \\ 2 & 1,00 \end{pmatrix}$$

Der Informationsgehalt ist geringer als bei der ersten Matrix A; die 2. Zeile ist einfach eine Verdopplung der ersten Zeile (mathematisch: die beiden Zeilen sind linear abhängig).

Im zweiten Fall hat die Matrix B nur eine linear unabhängige Zeile (und eine linear abhängige Zeile), der Rang der Matrix ist 1.

Wenn eine lineare Abhängigkeit vorliegt, ist übrigens die Determinante = 0: $det (B) = 1 \cdot 1,00 - 2 \cdot 0,50 = 1- 1 = 0$.

(Um die Determinante zu berechnen, multipliziert man bei einer 2 × 2-Matrix die beiden Zahlen der links oben beginnenden absteigenden Diagonale (1 und 1,00) und zieht das Produkt der Zahlen der links unten beginnenden aufsteigenden Diagonalen (2 und 0,50) ab.)

Die erste Matrix A hingegen hat 2 linear unabhängige Zeilen, der Rang der Matrix ist 2.

Liegt keine lineare Abhängigkeit vor, ist die Determinante ungleich 0: $det (A) = 1 \cdot 0,70 - 1 \cdot 0,50 = 0,70 - 0,50 = 0,20$.

Alternative Begriffe: Matrix-Rang.