Erlösfunktion

Beispiele für Erlösfunktionen

Eine einfache Erlösfunktion

Die Erlösfunktion mit der Formel E (x) = 2 € × x mit x = Anzahl der verkauften Produkte (Absatzmenge) bedeutet, dass die Produkte zu einem Preis von 2 € verkauft werden.

Bei 5 verkauften Produkten: E (5) = 2 € × 5 = 10 €.

Bei 10 verkauften Produkten: E (10) = 2 € × 10 = 20 €.

Allgemein: E (x) = p × x (mit p für den Preis)

Grenzerlös

Der sogenannte Grenzerlös bzw. Grenzumsatz gibt an, wie sich der Erlös erhöht, wenn eine Einheit mehr verkauft wird.

Das ist die 1. Ableitung der Erlösfunktion: E'(x) = 2.

Der Erlös erhöht sich also mit jeder verkauften Einheit um 2 € (das ist hier auch ohne Ableitung offensichtlich; bei komplizierteren Erlösfunktionen (siehe unten) benötigt man aber die 1. Ableitung).

Die obige Erlösfunktion ist ein vereinfachtes Modell: es gibt nur ein Produkt, der Preis ist konstant und es besteht kein Zusammenhang zwischen Preis und Absatzmenge. Ein Erlösmaximum gibt es in diesem einfachen Modell nicht: je mehr verkauft wird, desto höher die Erlöse.

Eine realistischere Erlösfunktion

In der Realität hängt jedoch die Absatzmenge unter anderem vom Preis ab und mit steigenden Verkaufspreisen fallen die Absatzmengen, siehe Preis-Absatz-Funktion.

Setzt man die Preis-Absatz-Funktion x(p) = 100 - 2 p aus dem dortigen Beispiel ein, ist die Erlösfunktion:

E (x (p)) = p × (100 - 2 p) = 100 p - 2 p².

Bei einem Preis von zum Beispiel 10 € bedeutet dies einen Erlös von 100 × 10 - 2 × 10² = 1.000 - 200 = 800 €.

Bei einem höheren Preis von 20 € bedeutet dies einen Erlös von 100 × 20 - 2 × 20² = 2.000 - 800 = 1.200 €.

Bei einem noch höheren Preis von 30 € bedeutet dies einen Erlös von 100 × 30 - 2 × 30² = 3.000 - 1.800 = 1.200 €.

Erlösmaximum

Man sieht oben unterschiedliche Erlöse bei unterschiedlichen Preisen – aber bei welchem Preis ist der Erlös maximal?

Man kann das Erlösmaximum berechnen, indem man

• die 1. Ableitung der Formel bildet: E'(x) = 100 - 2 × 2 p = 100 - 4 p und
• diese gleich 0 setzt: 100 - 4 p = 0, das ergibt einen Preis p von 25.

Das Erlösmaximum wird also bei einem Preis von 25 erreicht, die Absatzmenge ist dann: x (25 €) = 100 - 2 × 25 = 50 und der Erlös E (50) = 25 € × 50 = 1.250 €.