Quantilfunktion
Quantilfunktion Definition
Die Quantilfunktion ist die inverse Funktion der Verteilungsfunktion.
Die Quantilfunktion gibt zu einer bestimmten Wahrscheinlichkeit bzw. zu einem bestimmten Anteil den dazugehörigen Wert der Variablen an.
Zur Erinnerung: ein Quantil unterteilt die Daten einer Datenreihe. Beispiele: Das 20-%-Quantil ist der Wert, unterhalb dessen mindestens 20 % der Daten liegen; das 50-%-Quantil ist der Wert, unterhalb dessen mindestens 50 % der Daten liegen.
Alternative Begriffe: Inverse Verteilungsfunktion, Quantil-Funktion.
Beispiel
Beispiel: Quantilfunktion
In zwei Urnen liegen jeweils zwei Kugeln, die mit 1 und 2 bedruckt sind (wie Lottokugeln).
Es wird jeweils eine Kugel aus jeder Urne blind gezogen und die aufgedruckten Werte werden aufaddiert.
Es gibt jetzt 4 Möglichkeiten (dabei ist die erste Zahl die erste gezogene Kugel, die zweite Zahl die zweite gezogene Kugel): (1, 1; Summe = 2), (1, 2; Summe = 3), (2, 1; Summe = 3), (2, 2; Summe = 4).
Die Datenreihe hat also 4 Daten.
Verteilungsfunktion
Die Verteilungsfunktion würde anzeigen, wie hoch die kumulierte Wahrscheinlichkeit ist,
- eine Summe <= 0 zu haben (0 %),
- eine Summe <= 1 zu haben (0 %),
- eine Summe <= 2 zu haben (25 %, nur die (1,1)),
- eine Summe <= 3 zu haben (75 %, die (1, 1), (1, 2) und (2, 1)),
- eine Summe <= 4 zu haben (100 %, die (1, 1), (1, 2), (2, 1) und (2, 2)).
Quantilfunktion
Die dazugehörige Quantilfunktion (als inverse Funktion der Verteilungsfunktion) hingegen würde anzeigen, welche Summe zum Beispiel mit einer Wahrscheinlichkeit von 75 % nicht überschritten wird (nämlich die Summe <= 3 mit den 3 von 4 = 75 % Daten: (1, 1), (1, 2) und (2, 1)).
Anwendung
Das obige Beispiel ist letztlich nur ein Spiel, die Bedeutung der Beträge, die überschritten werden, ist nicht wichtig.
Anders etwa bei Schadenhöhen: welche Schadensumme wird beispielsweise mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % bei einer Versicherung nicht überschritten?
Analog in der Finanzwirtschaft: welche Verlusthöhe eines Wertpapierportfolios wird zum Beispiel mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % innerhalb eines bestimmten Zeitraums nicht überschritten?