Stetige Gleichverteilung einfach erklärt + Dichte

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Definition

Bei einer stetigen Gleichverteilung ist jeder Wert der Zufallsvariablen X in einem vorgegebenen Intervall gleichwahrscheinlich.

Umfasst das Intervall den Bereich [a, b], gilt:

die Wahrscheinlichkeitsdichte (Dichtefunktion) f (x) ist: 1 / (b - a) für x-Werte innerhalb des Intervalls, o sonst;
die kumulative Dichtefunktion F(x) ist: (x - a) / (b - a) für x-Werte innerhalb des Intervalls, o sofern x a und 1 sofern x >= b ist;
der Erwartungswert E(X) ist: (a + b) / 2;
die Varianz Var (X) ist: (b - a)² / 12.

Alternative Begriffe: Rechteckverteilung, uniforme Verteilung, Uniformverteilung.

Beispiel

Beispiel: Stetige Gleichverteilung

Eine U-Bahn-Linie kommt bei einer Haltestelle alle 10 Minuten.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für einen zufällig an der Haltestelle auftauchenden U-Bahn-Fahrgast, mehr als 7 Minuten warten zu müssen?

Es handelt sich um eine stetige Gleichverteilung: der Fahrgast kann zu jeder beliebigen Zeit an der Haltestelle auftauchen. Die Zufallsvariable X ist die Wartezeit und die Zufallsvariable ist stetig gleichverteilt im Intervall 0 bis 10 Minuten.

Gegenwahrscheinlichkeit und kumulative Dichtefunktion

Die Frage kann über die Gegenwahrscheinlichkeit – die Wahrscheinlichkeit, dass der Fahrgast höchstens 7 Minuten warten muss – gelöst werden: die kumulative Dichtefunktion ist (für Werte innerhalb des Intervalls): F (x = 7) = (7 - 0) / (10 - 0) = 7/10 = 0,7 = 70 %.

Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Fahrgast höchstens 7 Minuten warten muss.

Die Wahrscheinlichkeit, dass er länger warten muss, ist die Gegenwahrscheinlichkeit: 1 - 0,7 = 0,3 = 30 %.

Die weiteren Parameter der stetigen Gleichverteilung für das Beispiel berechnet:

Dichtefunktion

Die Dichtefunktion ist (für Werte innerhalb des Intervalls): 1 / (10 - 0) = 1/10.

Erwartungswert

Der Erwartungswert E (X) der Wartezeit ist: (a + b) / 2 = (0 + 10) / 2 = 5 (Minuten).

Varianz und Standardabweichung

Die Varianz Var (X) der Wartezeit ist: (b - a)² / 12 = (10 - 0)² / 12 = 100/12 = 8,33 (Minuten im Quadrat). Daraus ergibt sich eine Standardabweichung der Wartezeit als Wurzel der Varianz von 2,89 Minuten.

Fazit

Bei der stetigen Gleichverteilung ist jeder Wert im Intervall [a, b] gleichwahrscheinlich; f(x) = 1 / (b − a).
Der Erwartungswert liegt in der Intervalllmitte: E(X) = (a + b) / 2.
Die Varianz beträgt Var(X) = (b − a)² / 12.
Kumulative Wahrscheinlichkeiten berechnet man mit F(x) = (x − a) / (b − a).

Selbsttest: Stetige Gleichverteilung

Wie lautet die Dichtefunktion f(x) für x im Intervall [a, b]?

f(x) = (x − a) / (b − a)

f(x) = (a + b) / 2

f(x) = 1 / (b − a)

f(x) = (b − a)² / 12

Wie lautet der Erwartungswert der stetigen Gleichverteilung?

E(X) = (a + b) / 2

E(X) = (b − a) / 2

E(X) = a · b

E(X) = b − a

Wie berechnet man F(x) für einen Wert x im Intervall [a, b]?

F(x) = 1 / (b − a)

F(x) = (a + b) / 2

F(x) = (b − x) / (b − a)

F(x) = (x − a) / (b − a)

Wie lautet die Varianz der stetigen Gleichverteilung?

Var(X) = (b − a)²

Var(X) = (b − a)² / 12

Var(X) = (a + b)² / 12

Var(X) = (b − a) / 12

Nochmal versuchen

Aufgabe: Stetige Gleichverteilung

Ein Lieferdienst kündigt an, eine Bestellung zwischen 2 und 6 Stunden nach Aufgabe zu liefern. Die Lieferzeit X ist stetig gleichverteilt auf [a = 2; b = 6]. Berechnen Sie:

(a) den Erwartungswert E(X),
(b) die Varianz Var(X),
(c) die Wahrscheinlichkeit, dass die Lieferung spätestens nach 3 Stunden eintrifft.

Lösung anzeigen

(a) Erwartungswert:

E(X) = (a + b) / 2 = (2 + 6) / 2 = 8 / 2 = 4 Stunden

(b) Varianz:

Var(X) = (b − a)² / 12 = (6 − 2)² / 12 = 16 / 12 ≈ 1,33 Stunden²

(c) P(X ≤ 3):

F(3) = (x − a) / (b − a) = (3 − 2) / (6 − 2) = 1 / 4 = 0,25 = 25 %

Mit 25 % Wahrscheinlichkeit trifft die Lieferung innerhalb von 3 Stunden ein.

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