Definition
Ein Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest kann angewandt werden, wenn man zwei nominalskalierte Variablen hat und prüfen möchte, ob die zwei Variablen unabhängig sind oder ob ein Zusammenhang besteht.
Beispiel
Eine beispielhafte Fragestellung lautet: besteht zwischen dem Geschlecht des Autohalters (nominalskalierte Variable 1) und der Farbe des Autos (nominalskalierte Variable 2) ein Zusammenhang oder sind diese beiden Variablen unabhängig voneinander?
Der Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest basiert auf der Chi-Quadrat-Verteilung, die durch die Anzahl der Freiheitsgrade bestimmt wird.
Beispiel
Die Vorgehensweise des Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstests ähnelt der beim Chi-Quadrat-Anpassungstest.
Beispiel: Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest
Der Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest soll auf Basis der Daten zum Korrelationskoeffizienten Chi-Quadrat durchgeführt werden.
Die Daten für die Schüler einer Klasse waren:
| Mädchen | Jungen | Gesamt | |
|---|---|---|---|
| im Sportverein | 9 | 9 | 18 |
| nicht im Sportverein | 9 | 3 | 12 |
| Gesamt | 18 | 12 | 30 |
Schritt 1: Aufstellen der Hypothesen
Nullhypothese H0: die Merkmale "Geschlecht" und "Mitgliedschaft in einem Sportverein" sind unabhängig voneinander.
Alternativhypothese H1: die Merkmale "Geschlecht" und "Mitgliedschaft in einem Sportverein" sind voneinander abhängig.
Das Signifikanzniveau sei 0,05 bzw. 5 %.
Schritt 2: Ablehnungsbereich für die Chi-Quadrat-Verteilung bestimmen
Zunächst muss die Anzahl der Freiheitsgrade berechnet werden: (Anzahl der Zeilen - 1) × (Anzahl der Spalten - 1), für die Vierfeldertafel im Beispiel mit 2 Zeilen und 2 Spalten: (2 - 1) × (2 - 1) = 1 × 1 = 1. Die Anzahl der Freiheitsgrade ist also 1.
Der kritische Wert für χ2, ab dem der Ablehnungsbereich beginnt, lässt sich der Chi-Quadrat-Tabelle entnehmen. Für df = 1 (Auszug):
| df | 0,975 | 0,95 | 0,05 | 0,025 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0,001 | 0,004 | 3,841 | 5,024 |
χ21; 0,05 = 3,841.
D.h., ist die im folgenden berechnete Teststatistik größer als 3,841, wird die Nullhypothese abgelehnt.
Schritt 3: Teststatistik berechnen
Die Teststatistik war im Chi-Quadrat-Beispiel bereits mit 1,875 berechnet worden.
Schritt 4: Testentscheidung treffen
Der Wert der Chi-Quadrat-Teststatistik ist mit 1,875 nicht höher als der kritische Chi-Quadrat-Wert von 3,841. Deshalb wird die Nullhypothese nicht abgelehnt.
Bereits der auf Chi-Quadrat basierende Cramers V - Koeffizient hatte festgestellt, dass zwischen den beiden Merkmalen nur ein geringer statistischer Zusammenhang besteht.
Fazit
- Der Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest prüft, ob zwei nominalskalierte Variablen statistisch unabhängig voneinander sind.
- Freiheitsgrade: df = (Anzahl Zeilen − 1) × (Anzahl Spalten − 1).
- H0 wird abgelehnt, wenn die berechnete Chi-Quadrat-Teststatistik den kritischen Wert übersteigt.
- Ein großer Stichprobenumfang ist wichtig: Jede erwartete Häufigkeit in der Kontingenztafel sollte mindestens 5 betragen.
Selbsttest: Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest
Aufgabe: Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest
Ein Online-Shop analysiert, ob ein Zusammenhang zwischen der Altersgruppe der Kunden und der Kaufentscheidung besteht. In einer Stichprobe von n = 80 Kunden wurden folgende Häufigkeiten erfasst:
| Kauf abgeschlossen | Kauf abgebrochen | Gesamt | |
|---|---|---|---|
| Unter 35 Jahre | 30 | 10 | 40 |
| 35 Jahre und älter | 20 | 20 | 40 |
| Gesamt | 50 | 30 | 80 |
Signifikanzniveau: α = 0,05; kritischer Wert: χ21; 0,05 = 3,841.
(a) Bestimmen Sie die Anzahl der Freiheitsgrade.
(b) Berechnen Sie die vier erwarteten Häufigkeiten.
(c) Berechnen Sie die Chi-Quadrat-Teststatistik.
(d) Treffen Sie die Testentscheidung.
(a) df = (2 − 1) × (2 − 1) = 1
(b) Erwartete Häufigkeiten (Zeilen-Gesamt × Spalten-Gesamt / Gesamt):
| Kauf abgeschlossen | Kauf abgebrochen | |
|---|---|---|
| Unter 35 Jahre | 40 × 50 / 80 = 25 | 40 × 30 / 80 = 15 |
| 35 Jahre und älter | 40 × 50 / 80 = 25 | 40 × 30 / 80 = 15 |
(c) χ2 = (30 − 25)2/25 + (10 − 15)2/15 + (20 − 25)2/25 + (20 − 15)2/15
χ2 = 25/25 + 25/15 + 25/25 + 25/15 = 1 + 1,667 + 1 + 1,667 = 5,333
(d) 5,333 > 3,841 → H0 wird abgelehnt. Es besteht ein statistisch signifikanter Zusammenhang zwischen Altersgruppe und Kaufentscheidung (α = 0,05).