Permutation
Permutation Definition
Permutationen im Rahmen der Kombinatorik sind Anordnungen von (einer bestimmten Anzahl von) Elementen in einer bestimmten Reihenfolge (die Reihenfolge ist bei Permutationen – im Gegensatz zu Kombinationen – immer von Bedeutung).
Als Fragestellung: Auf wieviele Arten kann man die Elemente anordnen?
Beispiel
Wir haben drei mit den Zahlen 1, 2 und 3 nummerierte Kugeln. Wie viele Möglichkeiten gibt es, diese anzuordnen?
Man kann die Möglichkeiten abzählen:
- 1 2 3
- 1 3 2
- 2 1 3
- 2 3 1
- 3 1 2
- 3 2 1
Das sind 6 Möglichkeiten.
Einfacher geht es mit einer Formel: 3 ! (das ! steht für Fakultät) = 3 × 2 × 1 = 6.
Bei 4 Kugeln gäbe es 4 ! Möglichkeiten der Anordnung, d.h. 4 × 3 × 2 × 1 = 24; bei 5 Kugeln dann 5 ! = 120 Möglichkeiten u.s.w.
Permutation mit / ohne Wiederholung
Permutation ohne Wiederholung
In dem obigen Beispiel waren alle 3 Kugeln durch die Nummerierung eindeutig unterscheidbar und dieses Modell wird als "Permutation ohne Wiederholung" bezeichnet und wie oben als Fakultät der Anzahl der Elemente berechnet.
Permutation mit Wiederholung
Beispiel: Permutation mit Wiederholung
Wären die Kugeln in dem obigen Beispiel nicht eindeutig unterscheidbar, sondern wären z.B. 2 Kugeln schwarz und eine Kugel weiß, bezeichnet man dieses Modell als "Permutation mit Wiederholung".
Wie viele Möglichkeiten gibt es, diese anzuordnen?
Man kann die Möglichkeiten wieder abzählen:
- schwarz schwarz weiß
- schwarz weiß schwarz
- weiß schwarz schwarz
Als Formel: 3 ! / (2 ! × 1 !) = 6 / 2 = 3 (Möglichkeiten der Anordnung).
Dabei ist 3 die Anzahl der Kugeln, 2 die Anzahl der schwarzen Kugeln und 1 die Anzahl der weißen Kugeln.