Kombination
Definition
Kombinationen im Rahmen der Kombinatorik beziehen sich auf Auswahlprobleme, bei denen die Reihenfolge der Auswahl keine Rolle spielt.
Kombinationen beantworten die Frage:
Auf wieviele Arten kann man m Elemente aus n Elementen auswählen?
Alternative Begriffe: Kombinationsmöglichkeiten.
Kombination ohne Wiederholung
Beispiel
Ein Trainer soll aus 3 Sportlern (Adam, Bernd und Carl, im folgenden mit ihren Anfangsbuchstaben abgekürzt) 2 Sportler als Team für einen Sportwettbewerb auswählen.
Wieviele unterschiedliche Teams sind möglich?
Hier ist die Reihenfolge, in welcher der Trainer die 2 Sportler auswählt, nicht wichtig, sondern nur, wer ausgewählt ist. Es handelt sich um eine Auswahl 2 aus 3.
Zudem handelt es sich auch um eine Kombination ohne Wiederholung, da ein bei der ersten Auswahl des Trainers ausgewählter Sportler bei der nächsten (zweiten) Auswahl nicht mehr ausgewählt werden kann.
Formel
Allgemein als Formel mit m = Anzahl der auszuwählenden (hier: 2 Sportler) aus n Auswahlmöglichkeiten (hier: 3 Sportler) und mit ! als Zeichen für Fakultät (als Funktion auf dem Taschenrechner verfügbar):
n! / [(n -m)! × m!].
Berechnung
Die Anzahl der Kombinationen ist :
3! / [ (3 - 2)! × 2! ] = 3! / ( 1! × 2!) = (3 × 2 × 1) / ( 1 × 2 × 1) = 6 / 2 = 3.
Ausgezählt sind die Kombinationsmöglichkeiten:
- A B
- A C
- B C
Dies entspricht dem Binomialkoeffizienten, der direkt mit dem Taschenrechner oder so berechnet werden kann:
$$\binom{3}{2} = \frac {3!}{(3 - 2)! \cdot 2!} = \frac {3!}{1! \cdot 2!} = \frac {6}{1 \cdot 2} = \frac {6}{2} = 3$$
Kombination mit Wiederholung
Beispiel
Angenommen, das obige Beispiel wird dahingehend abgewandelt, dass ein einmal ausgewählter Sportler nochmals ausgewählt werden kann (man kann sich hier vielleicht eine Tennismannschaft vorstellen, bei der es erlaubt wäre, dass nicht zwei Spieler antreten müssen, sondern auch ein Spieler zwei Spiele bestreiten darf).
Formel
Allgemein als Formel mit m = Anzahl der auszuwählenden aus n Auswahlmöglichkeiten:
(m + n - 1)! / [ m! × (n -1)! ]
Berechnung
Dann wäre die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten:
(2 + 3 - 1)! /[ 2! × (3 - 1)! ] = 4! / (2! × 2!) = 24 / 4 = 6.
Ausgezählt sind die Kombinationsmöglichkeiten bei der Kombination mit Wiederholung:
- A A
- A B
- A C
- B B
- B C
- C C
Dies kann alternativ auch direkt mit folgendem Binomialkoeffizienten berechnet werden:
$$\binom{n + m - 1}{m} = \binom{3+2-1}{2} = \binom{4}{2} = 6$$
Die Kombination mit Wiederholung wird auch als Kombination mit Zurücklegen oder ungeordnete Stichprobe mit Zurücklegen bezeichnet.
Abgrenzung
Spielt bei einer Auswahl die Reihenfolge eine Rolle, wird dies hier als Variation bezeichnet; das ist aber keine strenge Unterscheidung, manche unterteilen auch in Kombinationen ohne und mit Berücksichtigung der Reihenfolge.
Kommt es auf die Reihenfolge an und handelt es sich nicht um eine Auswahl, sondern die gesamte Menge, spricht man von Permutation.
Umgangssprachlich werden die Begriffe anders verwendet: man spricht von einer Zahlenschloss-Kombination, obwohl es auf die Reihenfolge der Zahlen ankommt und damit für die Berechnung der Möglichkeiten die Permutation verwendet werden muss.