Kombination

Kombination Definition

Kombinationen im Rahmen der Kombinatorik beziehen sich auf Auswahlprobleme, bei denen die Reihenfolge der Auswahl keine Rolle spielt.

Spielt die Reihenfolge eine Rolle, wird dies hier als Variation bezeichnet; das ist aber keine strenge Unterscheidung, manche unterteilen auch in Kombinationen ohne und mit Berücksichtigung der Reihenfolge.

Kombinationen beantworten die Frage: Auf wieviele Arten kann man m Elemente aus n Elementen auswählen?

Kommt es hingegen auf die Reihenfolge an, spricht man von Permutation. Umgangssprachlich werden die Begriffe anders verwendet: man spricht von einer Zahlenschloss-Kombination, obwohl es auf die Reihenfolge der Zahlen ankommt und damit für die Berechnung der Möglichkeiten die Permutation verwendet werden muss.

Alternative Begriffe: Kombinationsmöglichkeiten.

Beispiel

Kombination ohne Wiederholung

Beispiel: Berechnung der Kombinationsmöglichkeiten

Ein Trainer soll aus 3 Sportlern (Adam, Bernd und Carl, im folgenden mit ihren Anfangsbuchstaben abgekürzt) 2 Sportler als Team für einen Sportwettbewerb auswählen.

Wieviele unterschiedliche Teams sind möglich?

Hier ist die Reihenfolge, in welcher der Trainer die 2 Sportler auswählt, nicht wichtig, sondern nur, wer ausgewählt ist. Es handelt sich um eine Auswahl 2 aus 3.

Zudem handelt es sich auch um eine sog. Kombination ohne Wiederholung, da ein bei der ersten Auswahl des Trainers ausgewählter Sportler bei der nächsten (zweiten) Auswahl nicht mehr ausgewählt werden kann.

Die Anzahl der Kombinationen ist (mit ! als Zeichen für Fakultät): 3 ! / [ (3 - 2) ! × 2 ! ] = 3 ! / ( 1 ! × 2 !) = (3 × 2 × 1) / ( 1 × 2 × 1) = 6 / 2 = 3.

Allgemein als Formel mit m = Anzahl der auszuwählenden (hier: 2 Sportler) aus n Auswahlmöglichkeiten (hier: 3 Sportler): n ! / [(n -m) ! × m !].

Ausgezählt sind die Kombinationsmöglichkeiten:

  • A B
  • A C
  • B C

Dies entspricht dem Binomialkoeffizienten, der direkt mit dem Taschenrechner oder so berechnet werden kann:

$$\binom{3}{2} = \frac {3!}{(3 - 2)! \cdot 2!} = \frac {3!}{1! \cdot 2!} = \frac {6}{1 \cdot 2} = \frac {6}{2} = 3$$

Kombination mit Wiederholung

Beispiel: Kombination mit Wiederholung

Angenommen, das obige Beispiel wird dahingehend abgewandelt, dass ein einmal ausgewählter Sportler nochmals ausgewählt werden kann (man kann sich hier vielleicht eine Tennismannschaft vorstellen, bei der es erlaubt wäre, dass nicht zwei Spieler antreten müssen, sondern auch ein Spieler zwei Spiele bestreiten darf).

Dann wäre die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten: (2 + 3 - 1) ! /[ 2 ! × (3 - 1) ! ] = 4 ! / (2 ! × 2 !) = 24 / 4 = 6.

Allgemein als Formel mit m = Anzahl der auszuwählenden aus n Auswahlmöglichkeiten: (m + n - 1) ! / [ m ! × (n -1) ! ]

Ausgezählt sind die Kombinationsmöglichkeiten bei der Kombination mit Wiederholung:

  • A A
  • A B
  • A C
  • B B
  • B C
  • C C

Dies kann alternativ auch direkt mit folgendem Binomialkoeffizienten berechnet werden:

$$\binom{n + m - 1}{m} = \binom{3+2-1}{2} = \binom{4}{2} = 6$$

Die Kombination mit Wiederholung wird auch als Kombination mit Zurücklegen oder ungeordnete Stichprobe mit Zurücklegen bezeichnet.