Definition
Wahrscheinlichkeit kann als relative Häufigkeit, subjektiv oder über Axiome (vgl. Kolmogorov-Axiome) definiert werden.
In den meisten Fällen meint Wahrscheinlichkeit einfach das Verhältnis von "interessierenden Fällen" zur Gesamtzahl aller möglichen Fälle, ausgedrückt in Prozent.
Beispiel
Beispiel: Wahrscheinlichkeit berechnen
Ein Würfel wird einmal geworfen, wir interessieren uns dafür, ob eine 6 gewürfelt wird.
Es gibt 6 mögliche Fälle (1, 2, 3, 4, 5, 6), davon interessiert uns einer (6).
Die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln ist (mit P für Probability): P("Sechs gewürfelt") = 1/6 = 0,167 = ca. 16,7 %.
Interessieren wir uns dafür, ob eine gerade Zahl gewürfelt wird, wären das die Zahlen 2, 4 oder 6. Das sind 3 aus 6, die Wahrscheinlichkeit ist 3/6 = 1/2 = 50 %.
Die Wahrscheinlichkeit spiegelt also wider, wie sicher bzw. unsicher etwas ist.
Die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln, ist mit knapp 17 % gering (die Gegenwahrscheinlichkeit, keine 6 zu würfeln, ist P("Keine Sechs gewürfelt") = ca. 83 %.
Fazit
- Wahrscheinlichkeit P(A) = günstige Fälle / alle möglichen Fälle (klassische Laplace-Definition)
- P liegt immer zwischen 0 (unmöglich) und 1 (sicher); Gegenereignis: P(Ā) = 1 − P(A)
- Drei Interpretationen: relative Häufigkeit, subjektive Wahrscheinlichkeit oder über Axiome definiert
- Grundlage für alle Wahrscheinlichkeitsverteilungen und statistische Tests
Selbsttest: Wahrscheinlichkeit
Aufgabe: Wahrscheinlichkeiten berechnen
In einer Lostrommel befinden sich 40 Lose: 8 Gewinne (davon 3 Hauptgewinne und 5 Nebengewinne) sowie 32 Nieten.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, bei einer Ziehung einen Hauptgewinn zu ziehen. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, irgendeinen Gewinn (Haupt- oder Nebengewinn) zu ziehen. c) Berechnen Sie die Gegenwahrscheinlichkeit zu b), also die Wahrscheinlichkeit einer Niete.
a) P(Hauptgewinn):
= günstige Fälle / alle Fälle = 3 / 40 = 0,075 = 7,5 %
b) P(Gewinn gesamt):
= (3 + 5) / 40 = 8 / 40 = 0,2 = 20 %
c) P(Niete) = Gegenereignis zu b):
= 1 − P(Gewinn) = 1 − 0,2 = 0,8 = 80 %
Probe: 32 Nieten / 40 = 0,8 ✓