Kolmogorov-Axiome

Kolmogorov-Axiome Definition

Eine (mathematische) Definition von Wahrscheinlichkeiten ist schwierig; Kolmogorov (der Name wird teilweise auch Kolmogoroff geschrieben) hat sich damit beholfen, einfach bestimmte Anforderungen an Wahrscheinlichkeiten zu stellen.

Diese axiomatische Methode ist in der Mathematik gang und gäbe. Es werden grundlegende Annahmen getroffen bzw. Forderungen gestellt (und nicht bewiesen oder abgeleitet), auf diesem Fundament baut alles weitere auf.

Nach Kolmogorov gelten für Wahrscheinlichkeiten die folgenden – selbstverständlich erscheinenden – 3 Axiome:

  1. Wahrscheinlichkeiten >= 0 (Wahrscheinlichkeiten sind 0 oder positiv, sog. Nichtnegativität);
  2. das sichere Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 1 (sog. Normiertheit; beim Würfeln wäre das sichere Ereignis z.B., eine Zahl zwischen 1 und 6 zu würfeln); aufgrund der Axiome 1 und 2 liegen die Wahrscheinlichkeiten somit im Bereich zwischen 0 und 1;
  3. Unter der Voraussetzung, dass sich ein Ereignis in disjunkte Teilereignisse (disjunkt: sie besitzen keine gemeinsamen Elemente bzw. die Schnittmenge ist Null) zerlegen lässt, können die Wahrscheinlichkeiten der disjunkten Teilereignisse addiert werden, um die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses zu erhalten, sog. Additivität (Beispiel: die Wahrscheinlichkeit, eine 2 oder 4 zu würfeln ist 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3).

Mit dieser von Kolmogorov definierten Wahrscheinlichkeit arbeiten wir in der Regel (ohne dass wir uns dessen bewusst sind bzw. der Name Kolmogorov fällt).

Alternative Begriffe: Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Axiomensystem von Kolmogorov, Kolmogorov-Wahrscheinlichkeit.