Zentraler Grenzwertsatz
Zentraler Grenzwertsatz Definition
Der zentrale Grenzwertsatz – als eines der Gesetze der großen Zahlen – besagt: die Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen, die aus der Summe von Zufallsvariablen gebildet werden (das ist beim arithmetischen Mittelwert z.B. der Fall, bei dem die Summe durch die Anzahl der Messungen geteilt wird), nähern sich mit zunehmender Anzahl der Stichprobenziehungen der Normalverteilung an.
Das gilt auch dann, wenn die zugrundeliegende Verteilung der Grundgesamtheit nicht normalverteilt ist; dadurch lassen sich viele Fragestellungen auf die Normalverteilung zurückführen.
Beispiel
Beispiel: Zentraler Grenzwertsatz
Beim Würfeln soll die Augensumme als Zufallsvariable verwendet werden.
Wenn man einmal würfelt, ist die Wahrscheinlichkeit für eine Augensumme (eigentlich noch keine Summe, sondern einfach die Augenzahl) von 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 jeweils 1/6 (eine Gleichverteilung).
Wenn man zweimal würfelt, gibt es 62 = 36 mögliche Würfelkonstellationen und die Augensummen liegen zwischen 2 (2 Einser) und 12 (2 Sechser). Es existiert aber keine Gleichverteilung der Augensumme mehr:
- 2: 1 und 1 (1 Möglichkeit, Wahrscheinlichkeit = 1/36)
- 3: 1 und 2, 2 und 1 (2 Möglichkeiten, Wahrscheinlichkeit = 2/36)
- 4: 1 und 3, 2 und 2, 3 und 1 (3 Möglichkeiten, Wahrscheinlichkeit = 3/36)
- 5: 1 und 4, 2 und 3, 3 und 2, 4 und 1 (4 Möglichkeiten, Wahrscheinlichkeit = 4/36)
- 6: 1 und 5, 2 und 4, 3 und 3, 4 und 2, 5 und 1 (5 Möglichkeiten, Wahrscheinlichkeit = 5/36)
- 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4, 4 und 3, 5 und 2, 6 und 1 (6 Möglichkeiten, Wahrscheinlichkeit = 6/36 = 1/6)
- 8: 2 und 6, 3 und 5, 4 und 4, 5 und 3, 6 und 2 (5 Möglichkeiten, Wahrscheinlichkeit = 5/36)
- 9: ... (es geht symmetrisch weiter bis 12)
Das ist noch keine Normalverteilung, aber schon mal eine symmetrische Verteilung mit der höchsten Wahrscheinlichkeit für die Augenzahl 7 als Scheitelpunkt der Verteilung:
Würfelt man 3 mal, 4 mal, 5 mal etc., so nähert sich die Verteilung immer mehr der Normalverteilung bzw. Glockenkurve an.
Bei 4-maligem Würfeln sieht die Verteilung bereits so aus:
