Äquivalenzumformung

Äquivalenzumformung Definition

Mit Äquivalenzumformungen kann man viele Gleichungen (und Ungleichungen) lösen, v.a. lineare Gleichungen.

Beispiel

Die Gleichung sei $2 \cdot x + 3 = 7$ und x soll ermittelt werden.

Dazu formt man die Gleichung – hier in zwei Schritten – auf beiden Seiten der Gleichung um:

Zunächst wird auf beiden Seiten 3 abgezogen, notiert wird dies hinter einem senkrechten Strich:

$$2 \cdot x + 3 = 7 \; \vert -3$$

$$2 \cdot x = 4 $$

Dann wird auf beiden Seiten durch 2 geteilt:

$$2 \cdot x = 4 \; \vert :2$$

$$x = 2$$

Die (hier einzige) Lösung der Gleichung ist x = 2 (bei anderen Gleichungen kann es mehrere Lösungen bzw. eine Lösungsmenge geben).

Es wird bei der Umformung mit den gegensätzlichen Operatoren gearbeitet: in der Gleichung stand "plus 3", dann wird mit "minus 3" umgeformt; in der Gleichung stand "mal 2", dann wird mit "geteilt durch 2" umgeformt (durch 0 dürfte man nicht teilen).

Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung, die die Lösung bzw. Lösungsmenge nicht verändert. So hat die äquivalente Gleichung $ 2 \cdot x = 4$ ebenfalls die Lösung x = 2 wie die ursprüngliche Gleichung $2 \cdot x + 3 = 7$.

Alternative Begriffe: Äquivalent-Gleichung, äquivalent umformen, äquivalente Gleichung, äquivalente Umformung.