Bedingte Wahrscheinlichkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeit Definition
Die bedingte Wahrscheinlichkeit gibt an, wie wahrscheinlich es ist, dass das Ereignis A eintritt, wenn Ereignis B eingetreten ist.
Hinweis
Die Begriffe "Ereignis" und "Ereigniseintritt" darf man nicht zu eng bzw. buchstäblich auslegen, auf eine bedingte Wahrscheinlichkeit zielen zum Beispiel auch die Fragen:
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person krank ist (Ereignis A), wenn sie Fieber hat (Ereignis B)? oder: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fußballspiel noch gewonnen wird, wenn man nach der ersten Halbzeit 0:2 zurückliegt?
Man weiß in dem Fall etwas – Fieber, 0:2 Rückstand – und dadurch ändern sich die ursprünglichen Wahrscheinlichkeiten.
Darstellung
Die bedingte Wahrscheinlichkeit wird oft als P (A | B) dargestellt (mit P für Probability oder ursprünglich lateinisch probabilitas).
Voraussetzung: nicht stochastisch unabhängig
Die Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten setzt voraus, dass die Ereignisse nicht stochastisch unabhängig sind.
Beispiel
Das Ziehen einer Zahl (zum Beispiel die Zahl 7) beim Lotto "6 aus 49" hat bei der ersten Ziehung einer Kugel die Wahrscheinlichkeit 1/49.
Wurde die Zahl 7 als erste Kugel gezogen, ist die Wahrscheinlichkeit für die 7 bei der Ziehung der zweiten Kugel 0 % (die Kugel ist ja schon draußen) — mit anderen Worten: die bedingte Wahrscheinlichkeit für die Zahl 7, unter der Bedingung, dass als erste Kugel die 7 gezogen wurde, ist 0 %.
Die Wahrscheinlichkeit für die Ziehung einer anderen Zahl (zum Beispiel 22) bei der Ziehung der zweiten Kugel ist 1/48, da nur noch 48 Kugeln in der Trommel enthalten sind.
Die Ereignisse sind also nicht stochastisch unabhängig.
Anders beim Würfeln: die Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Wurf eine 6 zu Würfeln ist unabhängig davon, was beim ersten Wurf gewürfelt wurde (die Ereignisse wären hier stochastisch unabhängig, die Voraussetzung nicht erfüllt).
Vierfeldertafel
Bedingte Wahrscheinlichkeiten lassen sich in einer Vierfeldertafel darstellen und berechnen (siehe Beispiel unten).
Bedingte Wahrscheinlichkeit Formel
Die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit lautet:
P (A | B) = P (A UND B) / P (B).
In Worten: Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt, wenn B eingetreten ist, ist die Wahrscheinlichkeit, dass A und B eintreten geteilt durch die Wahrscheinlichkeit für B.
Beispiel
Beispiel: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Bezogen auf das Beispiel zur Vierfeldertafel:
| Mädchen | Jungen | Gesamt | |
|---|---|---|---|
| im Sportverein | 9 | 9 | 18 |
| nicht im Sportverein | 9 | 3 | 12 |
| Gesamt | 18 | 12 | 30 |
Bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen
Die bedingte Wahrscheinlichkeit P (A | B) für das Ereignis A (es handelt sich um einen Jungen), wenn Ereignis B (Schüler ist im Sportverein) gegeben / bekannt ist, berechnet sich mit:
P (A | B) = P (A UND B) / P (B)
P (A | B) = (9/30) / (18/30) = 9 /18 = 1/2 = 0,5 (= 50 %).
Dabei ist 9/30 die Wahrscheinlichkeit bzw. der Anteil von allen Schülern, die Jungen sind und zugleich Mitglied im Sportverein und 18/30 ist die Wahrscheinlichkeit bzw. der Anteil der Schüler, die in einem Sportverein sind.