Satz von Bayes

Satz von Bayes Definition

Der Satz von Bayes basiert auf bedingten Wahrscheinlichkeiten und erlaubt, aus der Kenntnis des Ergebnisses Rückschlüsse zu ziehen.

Ist die bedingte Wahrscheinlichkeit P (B | A) bekannt (also die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis B eintritt, wenn A eingetreten bzw. bekannt geworden ist) kann mit der Bayes-Formel die Wahrscheinlichkeit für P (A | B) berechnet werden (also die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A eintritt, wenn B eingetreten bzw. bekannt geworden ist).

Formel

P (A | B) = [P (B | A) × P(A)] / P(B).

Anwendung

Damit lassen sich Fragestellungen umdrehen bzw. "Schlüsse in die umgekehrte Richtung ziehen".

Alternative Begriffe: Bayessche Formel, Bayessche Regel, Bayes-Theorem.

Beispiel

Beispiel: Satz von Bayes

Ein Unternehmen hat 2 Werke, in dem dasselbe Produkt hergestellt wird:

  • Werk A ist das größere und stellt 70 % der Gesamtstückzahl her, die Wahrscheinlichkeit für ein defektes Produkt in Werk A sei 10 %.
  • Werk B stellt die restlichen 30 % her, die Wahrscheinlichkeit für ein defektes Produkt in Werk B sei mit 20 % doppelt so hoch.

Ein Kunde reklamiert ein defektes Produkt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt aus dem Werk A stammt?

Die Antwort darauf gibt der Satz bzw. die Formel von Bayes.

Dabei sei:

  • A: Produkt kommt aus Werk A und
  • B: Produkt ist defekt.

P (A | B) = [P (B | A) × P(A)] / P(B).

P (A | B) = (0,1 × 0,7) / (0,7 × 0,1 + 0,3 × 0,2) = 0,07 / (0,07 + 0,06) = 0,07 / 0,13 = 0,5385 (das heißt knapp 54 %).

Dabei ist

  • P (B | A) = 0,1 die Defekt-Wahrscheinlichkeit in Werk A (die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass ein Produkt defekt ist, wenn es aus Werk A kommt),
  • P (A) = 0,7 die Wahrscheinlichkeit, dass ein Produkt aus Werk A kommt (letztlich ist das hier der Produktionsanteil des Werkes A),
  • 0,3 die Wahrscheinlichkeit, dass ein Produkt aus Werk B kommt (der Produktionsanteil des Werkes B) und
  • 0,2 die Defekt-Wahrscheinlichkeit in Werk B (die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass ein Produkt defekt ist, wenn es aus Werk B kommt).

Im Nenner der Formel steht die Wahrscheinlichkeit für ein defektes Teil P (B) (letztlich die totale Wahrscheinlichkeit): Werk A produziert 70 %, davon sind 10 % defekt, ergibt 7 % bzw. 0,07; Werk B produziert 30 %, davon sind 20 % defekt, ergibt 6 % bzw. 0,06; in Summe sind 13 % der Teile defekt.

Die berechnete Wahrscheinlichkeit von 53,85 % bezeichnet man auch als A-posteriori-Wahrscheinlichkeit (die Wahrscheinlichkeit, wenn man Kenntnis über etwas erlangt hat, hier bzgl. des Defekts; lateinisch a posteriori: im Nachhinein), während die A-priori-Wahrscheinlichkeit (lateinisch a priori: von vornherein), dass ein Produkt aus dem Werk A kommt, bei 70 % lag.

Kontrollrechnung

Angenommen, die Produktionsmenge ist 100. Dann kommen aus Werk A 70 Stück und aus Werk B 30 Stück. Aus Werk A kommen 7 defekte Produkte (10 % von 70) und aus Werk B kommen 6 defekte Produkte (20 % von 30).

In Summe sind das 13 defekte Produkte. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein defektes Produkt aus Werk A kommt, ist dann 7/13 = 0,5385 (und die Wahrscheinlichkeit, dass ein defektes Produkt aus Werk B kommt, ist entsprechend 6/13 = 0,4615).

Fazit

Das Bayes-Theorem nützt, wenn man Fragestellungen umdrehen möchte.

Wir wussten oben, dass die Wahrscheinlichkeit, dass Teile defekt sind, wenn sie aus Werk A kommen, 10 % beträgt – und konnten mit dem Satz von Bayes die Frage dahingehend umkehren: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt aus dem Werk A stammt wenn es defekt ist?