Satz der totalen Wahrscheinlichkeit

Totale Wahrscheinlichkeit Definition

Mit der sog. totalen Wahrscheinlichkeit bzw. über den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit können Wahrscheinlichkeiten berechnet werden, wenn die bedingten Wahrscheinlichkeiten bekannt sind.

Für die Berechnung der totalen Wahrscheinlichkeit werden die bedingten Wahrscheinlichkeiten gewichtet und aufaddiert.

Als Formel:

P(B) = ∑ über i = 1 bis n für P (B | Ai) × P (Ai)

Alternative Begriffe: Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit.

Beispiel

Beispiel: totale Wahrscheinlichkeit berechnen

Gegeben seien die Daten des Beispiels zum Satz von Bayes:

Ein Unternehmen hat 2 Werke, in dem dasselbe Produkt hergestellt wird:

  • Werk A stellt 70 % der Gesamtstückzahl her, die Wahrscheinlichkeit für ein defektes Produkt in Werk A sei 10 %; dies ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass ein Produkt defekt ist, wenn es aus Werk A kommt (Bedingung);
  • Werk B stellt die restlichen 30 % her, die Wahrscheinlichkeit für ein defektes Produkt in Werk B sei 20 %; dies ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass ein Produkt defekt ist, wenn es aus Werk B kommt.

Wie groß ist die (totale) Wahrscheinlichkeit, dass ein Produkt defekt ist?

Dabei seien

  • P: Abkürzung für Wahrscheinlichkeit (probability)
  • A: "Produkt kommt aus Werk A" und ¬ A das Gegenereignis "Produkt kommt nicht aus Werk A" (sondern aus Werk B)
  • B: "Produkt defekt" mit P (B) als Wahrscheinlichkeit für ein defektes Produkt

    Satz der totalen Wahrscheinlichkeit

    P (B) = P (B | A) × P (A) + P (B | ¬ A) × P (¬ A)

    P (B) = 0,1 × 0,7 + 0,2 × 0,3 = 0,07 + 0,06 = 0,13 = 13 %.