Definition
Der bedingte Erwartungswert ist der Erwartungswert, wenn man schon weiß bzw. die Information bekommt, dass eine Zufallsvariable nur bestimmte Werte annimmt oder angenommen hat.
Formel
$$E_A (X) = \sum_{i=1}^n x_i \cdot P_A (X = x_i)$$
Das Ergebnis ist der bedingte Erwartungswert $E_A (X)$ der Zufallsgröße X unter der Bedingung, dass Ereignis A eingetreten ist.
Der Term $P_A (X = x_i)$ meint die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße den Wert $x_i$ annimmt, wenn Ereignis A eingetreten ist.
Beispiel
Beispiel: Bedingter Erwartungswert
Wenn man mit einem (fairen) Würfel würfelt, hat jede der sechs Augenzahlen von 1 bis 6 eine Wahrscheinlichkeit von 1/6.
Formal:
- Die Zufallsvariable X gibt die gewürfelte Augenzahl an;
- X kann die Werte x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4, x5 = 5 und x6 = 6 annehmen, jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/6.
„Normaler“ Erwartungswert
Würde man die Augenzahl in ihrer Höhe in Euro vergüten, wäre der Erwartungswert dieses Spiels:
E(X) = 1/6 × 1 Euro + 1/6 × 2 Euro + 1/6 × 3 Euro + 1/6 × 4 Euro + 1/6 × 5 Euro + 1/6 × 6 Euro = 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 + 6/6 Euro = 21/6 Euro = 3,50 Euro.
Bedingter Erwartungswert
Erhält man nun die Information, dass dieser spezielle Würfel nur auf ungerade Augenzahlen fällt (also nur auf 1, 3 oder 5), ist der bedingte Erwartungswert unter der Bedingung bzw. dem Ereignis A „Nur ungerade Zahlen“ so:
EA (X) = 1/3 × 1 Euro + 1/3 × 3 Euro + 1/3 × 5 Euro = 1/3 + 3/3 + 5/3 Euro = 9/3 Euro = 3 Euro.
Dabei ist die Wahrscheinlichkeit für eine ungerade Zahl jeweils 1/3 statt vorher 1/6 (die Zahlen 2, 4 und 6 wurden sozusagen aus dem Spiel genommen).
Die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl ist jeweils 0; deshalb haben wir die Berechnungen für die Augenzahlen 2, 4 und 6 aus der Berechnung des bedingten Erwartungswerts herausgelassen (ein Wert von 2, 4 oder 6 mit einer Wahrscheinlichkeit von 0 multipliziert ergibt immer 0).
Sonst sähe die lange Berechnung so aus:
EA (X) = 1/3 × 1 Euro + 0 × 2 Euro + 1/3 × 3 Euro + 0 × 4 Euro + 1/3 × 5 Euro + 0 × 6 Euro = 1/3 + 0 + 3/3 + 0 + 5/3 + 0 Euro = 9/3 Euro = 3 Euro.
Fazit
- Formel: EA(X) = Σ xi · PA(X = xi) — Erwartungswert unter der Bedingung, dass Ereignis A eingetreten ist.
- Ergebnisse, die unter Bedingung A nicht eintreten können, haben PA = 0 — ihr Beitrag zur Summe ist xi × 0 = 0 und fällt damit weg.
- Der bedingte Erwartungswert kann sich deutlich vom unbedingten Erwartungswert E(X) unterscheiden.
Selbsttest: Bedingter Erwartungswert
Aufgabe: Bedingter Erwartungswert berechnen
An einem Gewinnautomaten gibt es drei mögliche Ausgaben: Mit Wahrscheinlichkeit 0,5 gewinnt man 0 €, mit Wahrscheinlichkeit 0,3 gewinnt man 5 € und mit Wahrscheinlichkeit 0,2 gewinnt man 20 €.
Berechnen Sie den bedingten Erwartungswert EA(X) unter der Bedingung A = „Es wurde ein Gewinn erzielt (X > 0)".
Schritt 1 – Wahrscheinlichkeiten re-normieren:
P(A) = 0,3 + 0,2 = 0,5
PA(X = 5 €) = 0,3 / 0,5 = 0,6
PA(X = 20 €) = 0,2 / 0,5 = 0,4
Schritt 2 – Bedingter Erwartungswert:
EA(X) = 0,6 × 5 € + 0,4 × 20 € = 3 € + 8 € = 11 €
Ergebnis: Unter der Bedingung, dass ein Gewinn erzielt wurde, beträgt der erwartete Gewinn 11 €.
Probe: 0,6 + 0,4 = 1,0 — re-normierte Wahrscheinlichkeiten addieren sich zu 1 ✓