Bedingter Erwartungswert

Beispiel: Bedingter Erwartungswert

Wenn man mit einem (fairen) Würfel würfelt, hat jede der sechs Augenzahlen von 1 bis 6 eine Wahrscheinlichkeit von 1/6.

„Normaler“ Erwartungswert

Würde man die Augenzahl in ihrer Höhe in Euro vergüten, wäre der Erwartungswert dieses Spiels:

1/6 × 1 Euro + 1/6 × 2 Euro + 1/6 × 3 Euro + 1/6 × 4 Euro + 1/6 × 5 Euro + 1/6 × 6 Euro = 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 + 6/6 Euro = 21/6 Euro = 3,50 Euro.

Bedingter Erwartungswert

Erhält man nun die Information, dass dieser spezielle Würfel nur auf ungerade Augenzahlen fällt (also nur auf 1, 3 oder 5), ist der bedingte Erwartungswert unter der Bedingung „Nur ungerade Zahlen“ so:

1/3 × 1 Euro + 1/3 × 3 Euro + 1/3 × 5 Euro = 1/3 + 3/3 + 5/3 Euro = 9/3 Euro = 3 Euro.

Dabei ist die Wahrscheinlichkeit für eine ungerade Zahl jeweils 1/3 statt vorher 1/6 (die Zahlen 2, 4 und 6 wurden sozusagen aus dem Spiel genommen).