Tschebyscheff-Ungleichung
Tschebyscheff-Ungleichung Definition
Die Tschebyscheff-Ungleichung erlaubt Schätzungen, mit welchen Wahrscheinlichkeiten Messwerte vom Erwartungswert entfernt liegen können bzw. mit welchen Wahrscheinlichkeiten Bandbreiten verlassen werden.
Alternative Begriffe: Chebyshev-Ungleichung, Tschebyscheffsche Ungleichung, Tschebyschew-Ungleichung, Tschebyschow-Ungleichung, Ungleichung von Tschebyscheff.
Formel
P(|X - E(X)| >= t) <= Var (X)/t2
In Worten:
Die Wahrscheinlichkeit P, dass die absolute Differenz (nach oben und unten) zwischen der Zufallsvariablen X und deren Erwartungswert E(X) größer als ein vorgegebener Wert t ist, ist kleiner gleich der Varianz geteilt durch t im Quadrat.
Beispiel
Beispiel Tschebyscheff-Ungleichung
Die Semmeln eines Bäckers sollen 50 Gramm wiegen.
Eine stichprobenartige Überprüfung durch ein externes Institut lieferte einen Erwartungswert für das Gewicht von 50 gr mit einer Varianz von 8.
Diese 4 Messungen liegen dem Erwartungswert und der Varianz zugrunde (eigentlich zu wenig für eine Stichprobe, aber einfach rechenbar):
| Messung | Gramm |
|---|---|
| 1 | 48 |
| 2 | 48 |
| 3 | 50 |
| 4 | 54 |
Der Mittelwert bzw. Erwartungswert ist dann: (48 + 48 + 50 + 54) / 4 ) = 200 / 4 = 50.
Und die Varianz (wir verwenden hier die Formel für die Stichprobenvarianz, bei der durch die Anzahl der Messwerte - 1 geteilt wird):
Varianz = [(48 - 50)2 + (48 - 50)2 + (50 - 50)2 +(54 - 50)2] / (4 - 1) = (4 + 4 + 0 + 16) / 3 = 24 / 3 = 8.
Statistische Frage
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass man eine Semmel kauft, die mehr als oder zumindest 10 % (5 gr) über oder mehr als oder zumindest 10 % unter dem Sollgewicht von 50 gr liegt, also 55 gr oder mehr oder 45 gr oder weniger wiegt?
P (|X - 50| >= 5) <= 8/52 = 8/25 = 0,32 = 32 %.
Ergebnis: eine Höchstwahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Semmel um 5 oder mehr gr nach oben oder unten vom Sollgewicht von 50 gr abweicht, ist höchstens 32 %, das heißt, 32 % oder weniger.
Es handelt sich um eine Ungleichung, die im Gegensatz zu einer Gleichung keine eindeutige Lösung hat, sondern lediglich eine Höchstwahrscheinlichkeit bzw. eine Wahrscheinlichkeitsgrenze bestimmt.
Umgekehrte Form: Gegenereignis / Gegenwahrscheinlichkeit
Man kann das auch umgekehrt über die Gegenwahrscheinlichkeit betrachten: die Wahrscheinlichkeit, dass die Semmel nicht um 5 gr oder mehr nach oben oder unten vom Sollgewicht von 50 gr abweicht, ist mindestens 68 %, also 68 % oder mehr.
Damit würden sich die meisten Unternehmen nicht zufrieden geben; es wäre eine recht ungenaue, unzuverlässige Produktion.
Als Formel mit Gegenwahrscheinlichkeit:
P(|X - E(X)| < t) >= 1 - Var (X)/t2
P(|X - E(X)| < 5) >= 1 - 8/52 = 0,68