Tschebyscheff-Ungleichung

Tschebyscheff-Ungleichung Definition

Die Tschebyscheff-Ungleichung erlaubt Schätzungen, mit welchen Wahrscheinlichkeiten Messwerte vom Erwartungswert entfernt liegen können bzw. mit welchen Wahrscheinlichkeiten Bandbreiten verlassen werden.

Formel

P(|X - E(X)| >= t) <= Var (X)/t2

In Worten: Die Wahrscheinlichkeit P, dass die absolute Differenz (nach oben und unten) zwischen der Zufallsvariablen X und deren Erwartungswert E(X) größer als ein vorgegebener Wert t ist, ist kleiner gleich der Varianz geteilt durch t im Quadrat.

Alternative Begriffe: Chebyshev-Ungleichung, Tschebyscheffsche Ungleichung, Tschebyschew-Ungleichung, Tschebyschow-Ungleichung, Ungleichung von Tschebyscheff.

Beispiel

Beispiel Tschebyscheff-Ungleichung

Die Semmeln eines Bäckers sollen 50 Gramm wiegen. Eine stichprobenartige Überprüfung durch ein externes Institut lieferte einen Erwartungswert für das Gewicht von 50 gr mit einer Varianz von 10.

Statistische Frage

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass man eine Semmel kauft, die mehr als oder zumindest 10 % (5 gr) über oder mehr als oder zumindest 10 % unter dem Sollgewicht von 50 gr liegt, also 55 gr oder mehr oder 45 gr oder weniger wiegt?

P (|X - 50| >= 5) <= 10/52 = 10/25 = 0,40 = 40 %.

Ergebnis: eine Höchstwahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Semmel um 5 oder mehr gr nach oben oder unten vom Sollgewicht von 50 gr abweicht, ist höchstens 40 %, das heißt, 40 % oder weniger.

Es handelt sich um eine Ungleichung, die im Gegensatz zu einer Gleichung keine eindeutige Lösung hat, sondern lediglich eine Höchstwahrscheinlichkeit bzw. eine Wahrscheinlichkeitsgrenze bestimmt.

Umgekehrte Form: Gegenereignis / Gegenwahrscheinlichkeit

Man kann das auch umgekehrt über die Gegenwahrscheinlichkeit betrachten: die Wahrscheinlichkeit, dass die Semmel nicht um 5 gr oder mehr nach oben oder unten vom Sollgewicht von 50 gr abweicht, ist mindestens 60 %, also 60 % oder mehr.

Damit würden sich die meisten Unternehmen nicht zufrieden geben; es wäre eine recht ungenaue, unzuverlässige Produktion.

Als Formel mit Gegenwahrscheinlichkeit:

P(|X - E(X)| < t) >= 1 - Var (X)/t2