Kartesisches Produkt

Beispiel: Kartesisches Produkt

Die Menge A sei {Adam, Bernd} und die Menge B sei {Christine, Doris).

Dann ist das kartesische Produkt $A \times B$:

{(Adam, Christine), (Adam, Doris), (Bernd, Christine), (Bernd, Doris)}

Vorgehen

Man fängt also mit dem ersten Element der ersten Menge an (Adam) und ordnet diesem nacheinander alle Elemente der zweiten Menge (Christine, Doris) zu; anschließend macht man mit dem zweiten Element der ersten Menge (Bernd) weiter und ordnet diesem nacheinander alle Elemente der zweiten Menge (Christine, Doris) zu. Und so weiter bei größeren Mengen.

Es kommt auf die Reihenfolge an: das erste Element ist jeweils aus der ersten Menge, das zweite Element jeweils aus der zweiten Menge; das heißt: (Christine, Adam) gehört nicht zum kartesischen Produkt A × B).

Anzahl der Elemente

Das kartesische Produkt zweier endlicher Mengen hat $\vert A\vert \cdot \vert B \vert$ Elemente, wobei ⎟A⎢für die Mächtigkeit der Menge A, also die Anzahl der Elemente der Menge A steht. Analog ist ⎟B⎢ die Mächtigkeit der Menge B, also die Anzahl der Elemente der Menge B.

Im Beispiel haben die Mengen A und B jeweils die Mächtigkeit 2, also jeweils 2 Elemente:

$$\vert A \vert \cdot \vert B \vert = 2 \cdot 2 = 4$$

Das kartesische Produkt hat hier also 4 Elemente (und die haben wir oben auch alle gefunden).

Kartesisches Produkt mit leere Menge

Bildet man das kartesische Produkt einer Menge mit der leeren Menge, ist das Ergebnis die leere Menge.

Grund: man kann aus der leeren Menge kein Objekt auswählen (sie enthält keine Objekte), deshalb ergeben sich daraus keine geordneten Paare.