Definition
Die leere Menge enthält keine Elemente.
Schreibweise: meist $\emptyset$, seltener: { }.
Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge und sie ist auch in der Potenzmenge enthalten.
Oft ist sie das Ergebnis von Mengenoperationen (siehe Beispiel unten zur Schnittmenge) oder Gleichungen (gibt es keine Lösung einer Gleichung, ist die Lösungsmenge leer bzw. die leere Menge).
Alternative Begriffe: Leermenge.
Beispiel
Beispiel Leere Menge
Es gebe 2 Mengen:
- Menge A = {1, 2, 3} und
- Menge B = {4, 5, 6}.
Bildet man die Schnittmenge von A und B, ergibt sich die leere Menge, da die beiden Mengen keine Elemente gemeinsam haben:
$$A \cap B = \emptyset$$
Die leere Menge kann durchaus ein gewünschtes Ziel sein, zum Beispiel wenn man keine Überschneidungen zwischen zwei Gruppen (Mengen) möchte.
Die Schnittmenge einer Menge (zum Beispiel die Menge A = {1, 2, 3} oben) mit der leeren Menge ergibt wiederum die leere Menge:
$$A \cap \emptyset = \emptyset$$
Die Vereinigungsmenge einer Menge (zum Beispiel die Menge A = {1, 2, 3} oben) mit der leeren Menge ergibt die Menge:
$$A \cup \emptyset = A$$
Fazit
- Die leere Menge ∅ enthält keine Elemente: |∅| = 0
- ∅ ist Teilmenge jeder Menge — auch Teilmenge von sich selbst
- A ∩ ∅ = ∅ und A ∪ ∅ = A gilt für jede Menge A
- P(∅) = {∅} — die Potenzmenge der leeren Menge hat genau ein Element
Selbsttest: Leere Menge
Aufgabe: Mengenoperationen mit der leeren Menge
Gegeben sei die Grundmenge Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} sowie die Mengen A = {2, 4, 6, 8, 10} (gerade Zahlen) und B = {1, 3, 5, 7, 9} (ungerade Zahlen).
a) Bestimmen Sie A ∩ B. Begründen Sie, warum das Ergebnis die leere Menge ist. b) Überprüfen Sie: gilt A ∪ B = Ω? c) Berechnen Sie A ∩ ∅ und A ∪ ∅.
a) A ∩ B:
A = {2, 4, 6, 8, 10} enthält nur gerade, B = {1, 3, 5, 7, 9} nur ungerade Zahlen. Es gibt kein gemeinsames Element.
A ∩ B = ∅ — A und B sind disjunkt.
b) A ∪ B = Ω?
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = Ω ✓
A und B zerlegen Ω vollständig — jede Zahl von 1 bis 10 ist entweder gerade oder ungerade.
c) Operationen mit ∅:
A ∩ ∅ = ∅ (keine gemeinsamen Elemente mit einer leeren Menge möglich)
A ∪ ∅ = A = {2, 4, 6, 8, 10} (die leere Menge fügt keine Elemente hinzu)