Binomialkoeffizient
Binomialkoeffizient Definition
Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus einer Menge von n Elementen k Elemente auszuwählen, ohne dass es auf die Reihenfolge der Auswahl ankommt (in der Kombinatorik auch als Kombination bezeichnet).
Der Binomialkoeffizient wird i.d.R. als "n über k" gelesen oder (verständlicher) als "k aus n".
Das bekannteste Beispiel dafür ist das Lotto "6 aus 49": hier werden durch Ziehung 6 Elemente (Lottokugeln) aus 49 Elementen (Lottokugeln) ausgewählt. Es handelt sich dabei um ein "Ziehen ohne Zurücklegen" (eine gezogene Kugel bleibt draußen und die Zahl kann nicht nochmals gezogen werden) und die Reihenfolge, in der die Kugeln gezogen werden, ist unerheblich (Hauptsache, man hat die richtigen Zahlen; allerdings werden die Lottozahlen nach der Ziehung in aufsteigender Reihenfolge sortiert angegeben).
Die Formel für den Binomialkoeffizienten B (n über k) bzw. B (k aus n) (mit ! als Zeichen für Fakultät) ist:
$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{[ (n - k)! \times k ! ]}$$
Im Lottobeispiel: (6 aus 49) = 49! / [ (49 - 6)! × 6! ] = 49! / (43! × 6!)
Das könnte man so mit dem Taschenrechner berechnen oder man kürzt die 43 !: (49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44) / (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 13.983.816.
Mit dem Taschenrechner lässt sich der Binomialkoeffizient auch direkt berechnen: Eingabe 49 : 6 und dann die nCr-Taste (die per Shift bzw. 2nd oder 3rd aktiviert werden kann).
Es gibt also 13.983.816 mögliche Kombinationen und damit ist die Wahrscheinlichkeit für "6 Richtige" 1 zu 13.983.816.
Beim 6 aus 49 - Lotto muss dann noch die Superzahl berücksichtigt werden; die Wahrscheinlichkeit für die richtige Superzahl ist 1/10 (die Superzahl liegt im Intervall 0 bis 9, umfasst also 10 Zahlen) und die Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige mit Superzahl ist dann 1/10 × 1/13.983.816 = 1/139.838.160 (ca. 1 zu 140 Millionen).
Die Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige ohne Superzahl ist entsprechend 9/10 × 1/13.983.816 = 9/139.838.160 = 1/15.537.573 (ca. 1 zu 15,5 Millionen).
Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für 3 Richtige, 4 Richtige etc. benötigt man mehrere Binomialkoeffizienten (vgl. Hypergeometrische Verteilung).
Für den Binomialkoeffizienten gilt:
$$\binom{n}{k} = \binom{n}{n - k}; z.B. ist \binom{5}{2} = \binom{5}{5 - 2} = 10$$
Binomialkoeffizient Beispiel
Weiteres Beispiel: Anzahl der Möglichkeiten
Eine Münze wird 3-mal geworfen. Wieviele Möglichkeiten gibt es, dass (genau) 2-mal Zahl kommt?
Als Binomialkoeffizient formuliert: B (3 über 2) = 3 ! / [ (3 - 2) ! × 2 ! ] = 6 / 2 = 3.
Die Möglichkeiten mit 2-mal Zahl (aus den insgesamt 23 = 8 Möglichkeiten) sind:
- Kopf Kopf Zahl
- Kopf Zahl Kopf
- Zahl Kopf Kopf