Binomialkoeffizient
Definition
Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus einer Menge von n Elementen k Elemente auszuwählen, ohne dass es auf die Reihenfolge der Auswahl ankommt.
In der Kombinatorik wird dies auch als Kombination bezeichnet.
Der Binomialkoeffizient wird als "n über k" gelesen oder (verständlicher) als "k aus n".
Formel
Die Formel für den Binomialkoeffizienten B (n über k) bzw. B (k aus n) (mit ! als Zeichen für Fakultät) ist:
$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{[ (n - k)! \times k! ]}$$
Beispiele
Beispiel 1: Lotto
Das bekannteste Beispiel dafür ist das Lotto "6 aus 49": Hier werden durch Ziehung 6 Elemente (Lottokugeln) aus 49 Elementen (Lottokugeln) ausgewählt.
Es handelt sich dabei um ein
- "Ziehen ohne Zurücklegen" (eine gezogene Kugel bleibt draußen und die Zahl kann nicht nochmals gezogen werden) und
- die Reihenfolge, in der die Kugeln gezogen werden, ist unerheblich (Hauptsache, man hat die richtigen Zahlen; allerdings werden die Lottozahlen nach der Ziehung in aufsteigender Reihenfolge sortiert angegeben).
Mit der obigen Formel:
(6 aus 49) = 49! / [ (49 - 6)! × 6! ] = 49! / (43! × 6!)
Berechnung
Es gibt nun 3 Möglichkeiten, das praktisch zu berechnen:
Das kann man so mit dem Taschenrechner über die Taste für Fakultät x! berechnen.
Oder man kürzt die 43!: (49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44) / (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 13.983.816.
Mit dem Taschenrechner lässt sich der Binomialkoeffizient auch direkt berechnen: Eingabe 49 : 6 und dann die nCr-Taste (die per Shift bzw. 2nd oder 3rd aktiviert werden kann).
Es gibt also 13.983.816 mögliche Kombinationen und damit ist die Wahrscheinlichkeit für "6 Richtige" 1 zu 13.983.816.
Beim 6 aus 49 - Lotto muss dann noch die Superzahl berücksichtigt werden; die Wahrscheinlichkeit für die richtige Superzahl ist 1/10 (die Superzahl liegt im Intervall 0 bis 9, umfasst also 10 Zahlen) und die Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige mit Superzahl ist dann 1/10 × 1/13.983.816 = 1/139.838.160 (ca. 1 zu 140 Millionen).
Die Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige ohne Superzahl ist entsprechend 9/10 × 1/13.983.816 = 9/139.838.160 = 1/15.537.573 (circa 1 zu 15,5 Millionen).
Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für 3 Richtige, 4 Richtige und so weiter benötigt man mehrere Binomialkoeffizienten (siehe Hypergeometrische Verteilung).
Beispiel 2: Anzahl der Möglichkeiten
Eine Münze wird 3-mal geworfen.
Wieviele Möglichkeiten gibt es, dass (genau) 2-mal Kopf kommt?
Als Binomialkoeffizient formuliert:
B (3 über 2) = 3! / [ (3 - 2)! × 2! ] = 6 / 2 = 3.
"Kleinere" Binomialkoeffizienten wie hier kann man auch aus dem Pascalschen Dreieck ablesen (was aber auch nicht schneller als der Taschenrechner ist).
Die Möglichkeiten mit 2-mal Kopf (aus den insgesamt 23 = 8 Möglichkeiten) sind:
- Kopf Kopf Zahl
- Kopf Zahl Kopf
- Zahl Kopf Kopf
Rechenregel
Für den Binomialkoeffizienten gilt:
$$\binom{n}{k} = \binom{n}{n - k}$$
Zum Beispiel ist
$$\binom{5}{2} = \binom{5}{5 - 2} = 10$$