Negative Binomialverteilung

Negative Binomialverteilung Definition

Die negative Binomialverteilung gründet wie die Binomialverteilung auf einem Bernoulli-Experiment, d. h. auf einem Experiment, das lediglich 2 Ergebnisse haben kann: positiv (Erfolg), z. B. mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,4 bzw. 40 % oder negativ (Mißerfolg) mit einer Gegenwahrscheinlichkeit von 0,6 bzw. 60 %.

Zur Erinnerung: die normale ("positive") Binomialverteilung beantwortet die Frage, wie hoch bei einer bestimmten Anzahl von z. B. 10 Wiederholungen eines Bernoulli-Experiments die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl von z. B. 3 Erfolgen ist.

Die negative Binomialverteilung dreht die Fragestellung um: wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, das bei der z. B. 10. Wiederholung (und nicht früher) der z. B. 3. Erfolg erzielt wird.

Beispiel

In einem Unternehmen liegen in einem Behälter LED-Lampen. 40 % der Lampen sind defekt.

Das Bernoulli-Experiment bestehe darin, dass man eine LED-Lampe herausgreift: diese kann dann "defekt" sein oder "in Ordnung".

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim zehnten Griff die 3. defekte LED erwischt wird?

$$P (X = 10) = \binom{10 - 1}{3 - 1} \cdot 0,4^3 \cdot 0,6^7$$

Dabei ist $\binom{10 - 1}{3 - 1} = \binom{9}{2}$ ein Binomialkoeffizient (mit ! für Fakultät): $\binom{9}{2} = \frac{9!}{[ (9 - 2)! \cdot 2 ! ]}$

$$P (X = 10) = \binom{9}{2} \cdot 0,4^3 \cdot 0,6^7 = 0,0645 $$

Die Wahrscheinlichkeit, dass man beim 10. Ziehen die 3. defekte LED erwischt, ist rund 6,45 %.

Die negative Binomialverteilung verallgemeinert insofern die geometrische Verteilung (die nur auf den ersten Erfolg zielt und nicht flexibel auf den zweiten, dritten, vierten usw. Erfolg).

Alternative Begriffe: Negativ-Binomial-Verteilung, Negative Binomial-Verteilung, Pascal-Verteilung.