Negative Binomialverteilung
Negative Binomialverteilung Definition
Die negative Binomialverteilung gründet wie die Binomialverteilung auf einem Bernoulli-Experiment, das heißt, auf einem Experiment, das lediglich 2 Ergebnisse haben kann: positiv (Erfolg), zum Beispiel mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,4 bzw. 40 % oder negativ (Mißerfolg) mit einer Gegenwahrscheinlichkeit von 0,6 bzw. 60 %.
Gegensatz: normale Binomialverteilung
Zur Erinnerung: die normale ("positive") Binomialverteilung beantwortet die Frage, wie hoch bei einer bestimmten Anzahl von beispielsweise 10 Wiederholungen eines Bernoulli-Experiments die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl von zum Beispiel 3 Erfolgen ist.
Fragestellung
Die negative Binomialverteilung dreht die Fragestellung um: wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, das bei der beispielsweise 10. Wiederholung (und nicht früher) der zum Beispiel 3. Erfolg erzielt wird.
Die negative Binomialverteilung verallgemeinert insofern die geometrische Verteilung (die nur auf den ersten Erfolg zielt und nicht flexibel auf den zweiten, dritten, vierten usw. Erfolg).
Alternative Begriffe: Negativ-Binomial-Verteilung, Negative Binomial-Verteilung, Pascal-Verteilung.
Beispiel
Beispiel: Negative Binomialverteilung
In einem Unternehmen liegen in einem Behälter LED-Lampen. 40 % der Lampen sind defekt.
Das Bernoulli-Experiment bestehe darin, dass man eine LED-Lampe herausgreift: diese kann dann "defekt" sein oder "in Ordnung".
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim zehnten Griff die 3. defekte LED erwischt wird?
$$P (X = 10) = \binom{10 - 1}{3 - 1} \cdot 0,4^3 \cdot 0,6^7$$
Dabei ist $\binom{10 - 1}{3 - 1} = \binom{9}{2}$ ein Binomialkoeffizient (mit ! für Fakultät, einer Taste auf dem Taschenrechner: x!):
$$\binom{9}{2} = \frac{9!}{[ (9 - 2)! \cdot 2 ! ]} = \frac{9!}{[ 7! \cdot 2 ! ]} =$$
$$= \frac{362.880}{[ 5.040 \cdot 2 ]} = 36$$
Und 0,4 (= 40 %) ist die Wahrscheinlichkeit für ein defektes Teil und 0,6 (= 60 %) die Wahrscheinlichkeit für ein gutes Teil. Die dazugehörigen Potenzen "hoch 3" und "hoch 7" stehen für die Anzahl der defekten und der guten Teile innerhalb der gezogenen LEDs.
$$P (X = 10) = 36 \cdot 0,4^3 \cdot 0,6^7$$
$$= 0,0645$$
Die Wahrscheinlichkeit, dass man beim 10. Ziehen die 3. defekte LED erwischt, ist rund 6,45 %.
Verteilung
Das obige Beispiel ist noch keine (Wahrscheinlichkeits)verteilung, sondern nur eine einzige Wahrscheinlichkeit; für die Verteilung müsste man die Wahrscheinlichkeiten für X = 3, X = 4 usw. ausrechnen (X = 3 ist das Minimum: drei Treffer benötigen mindestens 3 Versuche).