Diskrete Gleichverteilung

Diskrete Gleichverteilung Definition

Gleichverteilung einer Zufallsvariablen liegt vor, wenn jeder Wert der Zufallsvariablen die gleiche Wahrscheinlichkeit hat.

Ist die Zahl der möglichen Ereignisse abzählbar, spricht man von einer diskreten Gleichverteilung (im Gegensatz zur stetigen Gleichverteilung).

Erwartungswert und Varianz einer diskreten Gleichverteilung lassen sich mit einfachen Formeln bestimmen (siehe Beispiel unten).

Beispiel

Beispiel: Diskrete Gleichverteilung

Der Wurf eines Würfels mit den abzählbaren und gleichwahrscheinlichen Elementarereignissen (Augenzahl) 1, 2, 3, 4, 5 und 6 oder der Wurf einer Münze mit den 2 abzählbaren und gleichwahrscheinlichen Ereignissen Kopf und Zahl liefern eine diskrete Gleichverteilung.

Die Wahrscheinlichkeit ist jeweils 1/Anzahl der Ereignisse (im Würfelbeispiel 1/6, im Münzbeispiel 1/2).

Erwartungswert Gleichverteilung

Der Erwartungswert einer diskreten Gleichverteilung ist (M + 1) / 2 mit M als Mächtigkeit der Menge der Elementarereignisse.

Im Würfelbeispiel ist der Erwartungswert (6 + 1) / 2 = 3,5.

Interpretation

Was bedeutet der Erwartungswert hier? Gehen wir von einem Spiel aus, bei dem man die Würfelaugen in Euro ausbezahlt bekommt (würfelt man ein 2, bekommt man 2 Euro; würfelt man ein 6, bekommt man 6 Euro und so weiter).

Die Wahrscheinlichkeit für jede Zahl ist 1/6, damit ist der Erwartungswert allgemein (die obige Formel ist eine Kurzform):

1/6 × 1 Euro + 1/6 × 2 Euro + 1/6 × 3 Euro + 1/6 × 4 Euro + 1/6 × 5 Euro + 1/6 × 6 Euro

= (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 21 / 6 = 3,5 (Euro).

Der mittlere Gewinn, den man erwarten kann, ist also 3,50 Euro (das ist ein rechnerischer Betrag; diesen Betrag selbst wird man nie bekommen, da der Würfel keine 3,5 als Augenzahl hat).

Varianz Gleichverteilung

Die Varianz einer diskreten Gleichverteilung ist (M2 - 1) / 12.

Im Würfelbeispiel ist die Varianz (62 - 1) / 12 = (36 - 1) / 12 = 35/12 = 2,92 (gerundet).

Die Varianz ist ein Maß dafür, wie weit die Werte streuen.