Pascalsches Dreieck

Beispiel

Aufbau

Der Aufbau zum Beispiel mit 4 Zeilen (es können auch mehr gezeigt werden):

$$\begin{matrix}
&&&&&\binom{0}{0}\\
&&&&\binom{1}{0}&&\binom{1}{1}\\
&&&\binom{2}{0}&&\binom{2}{1}&&\binom{2}{2}\\
&&\binom{3}{0}&&\binom{3}{1}&&\binom{3}{2}&&\binom{3}{3}\\
\end{matrix}$$

Das ergibt dann folgende (natürliche) Zahlen:

$$\begin{matrix}
&&&&&1\\
&&&&1&&1\\
&&&1&&2&&1\\
&&1&&3&&3&&1\\
\end{matrix}$$

Die Zeilen und Spalten des Pascalschen Dreiecks beginnen jeweils mit 0 (das ist wichtig für das Ablesen von Binomialkoeffizienten, siehe unten).

Konstruktion / Weiterentwicklung

Die Zeilen sind symmetrisch (das hilft, das Dreieck aufzubauen).

Abgesehen von den 1ern, die jede Zeile "einrahmen" (am Anfang und Ende stehen), ist jede Zahl die Summe der beiden links und rechts darüber stehenden Zahlen.

So ist zum Beispiel die 3 (die zweite Zahl von links in Zeile 3) die Summe der darüber links stehenden 1 und der darüber rechts stehenden 2.

Damit lassen sich die Zeilen einfach entwickeln, beispielsweise die 4. Zeile:

$$\begin{matrix}
&&1&&4&&6&&4&&1
\end{matrix}$$

Oder die 5. Zeile:

$$\begin{matrix}
&&1&&5&&10&&10&&5&&1
\end{matrix}$$

Binomialkoeffizienten ablesen

Wie lesen als Beispiel den Binomialkoeffizienten $$\binom{4}{2}$$ ab.

Dazu gehen wir in Zeile 4 (das ist die fünfte Zeile von oben, da die Zeilen mit 0 beginnen) und nehmen die Spalte 2 (das ist die dritte Zahl von links, da die Spalten mit 0 beginnen).

Das abgelesene Ergebnis ist 6.

Analog kann man den Binomialkoeffizienten $\binom{3}{2}$ in Zeile 3 (die vierte Zeile von oben) und Spalte 2 (die dritte Zahl von links) ablesen: 3.