Definition
Das Pascalsche Dreieck zeigt die Binomialkoeffizienten in der Anordnung eines Dreiecks.
Beispiel
Aufbau
Der Aufbau zum Beispiel mit 4 Zeilen (es können auch mehr gezeigt werden):
$$\begin{matrix}
&&&&&\binom{0}{0}\\
&&&&\binom{1}{0}&&\binom{1}{1}\\
&&&\binom{2}{0}&&\binom{2}{1}&&\binom{2}{2}\\
&&\binom{3}{0}&&\binom{3}{1}&&\binom{3}{2}&&\binom{3}{3}\\
\end{matrix}$$
Das ergibt dann folgende (natürliche) Zahlen:
$$\begin{matrix}
&&&&&1\\
&&&&1&&1\\
&&&1&&2&&1\\
&&1&&3&&3&&1\\
\end{matrix}$$
Die Zeilen und Spalten des Pascalschen Dreiecks beginnen jeweils mit 0 (das ist wichtig für das Ablesen von Binomialkoeffizienten, siehe unten).
Konstruktion / Weiterentwicklung
Die Zeilen sind symmetrisch (das hilft, das Dreieck aufzubauen).
Abgesehen von den 1ern, die jede Zeile "einrahmen" (am Anfang und Ende stehen), ist jede Zahl die Summe der beiden links und rechts darüber stehenden Zahlen.
So ist zum Beispiel die 3 (die zweite Zahl von links in Zeile 3) die Summe der darüber links stehenden 1 und der darüber rechts stehenden 2.
Damit lassen sich die Zeilen einfach entwickeln, beispielsweise die 4. Zeile:
$$\begin{matrix}
&&1&&4&&6&&4&&1
\end{matrix}$$
Oder die 5. Zeile:
$$\begin{matrix}
&&1&&5&&10&&10&&5&&1
\end{matrix}$$
Ergibt dann:
$$\begin{gathered}
1\\
1\quad1\\
1\quad2\quad1\\
1\quad3\quad3\quad1\\
1\quad4\quad6\quad4\quad1\\
1\quad5\quad10\quad10\quad5\quad1
\end{gathered}$$
Binomialkoeffizienten ablesen
Wie lesen als Beispiel den Binomialkoeffizienten $$\binom{4}{2}$$ ab.
Dazu gehen wir in Zeile 4 (das ist die fünfte Zeile von oben, da die Zeilen mit 0 beginnen) und nehmen die Spalte 2 (das ist die dritte Zahl von links, da die Spalten mit 0 beginnen).
Das abgelesene Ergebnis ist 6.
Analog kann man den Binomialkoeffizienten $\binom{3}{2}$ in Zeile 3 (die vierte Zeile von oben) und Spalte 2 (die dritte Zahl von links) ablesen: 3.
Fazit
- Das Pascalsche Dreieck ordnet die Binomialkoeffizienten in Dreiecksform an: Zeile 0 oben mit dem Wert 1, jede folgende Zeile um ein Element breiter.
- Aufbauregel: Jede innere Zahl ist die Summe der zwei direkt darüber stehenden Zahlen; am linken und rechten Rand steht immer 1.
- Ablesen: Der Binomialkoeffizient (n über k) steht in Zeile n, Spalte k — Zählung beginnt jeweils bei 0.
- Anwendungen: Berechnung von Binomialkoeffizienten, Entwicklung binomischer Formeln, Wahrscheinlichkeiten in der Kombinatorik.
Selbsttest: Pascalsches Dreieck
Aufgabe: Pascalsches Dreieck weiterentwickeln
Gegeben ist Zeile 4 des Pascalschen Dreiecks (Zählung ab Zeile 0):
Zeile 4: 1 4 6 4 1
a) Entwickeln Sie Zeile 5 mithilfe der Summenregel.
b) Lesen Sie die Binomialkoeffizienten (5 über 2) und (5 über 3) ab.
c) Überprüfen Sie die Ergebnisse rechnerisch: (n über k) = n! / (k! · (n−k)!)
a) Zeile 5 (Summenregel):
Ränder: 1 ... 1
Innere Werte (Summe der zwei Zahlen darüber aus Zeile 4):
1+4 = 5 | 4+6 = 10 | 6+4 = 10 | 4+1 = 5
Zeile 5: 1 5 10 10 5 1
b) Ablesen (Zeile 5, Spalte k):
(5 über 2) = Zeile 5, Spalte 2 = 10
(5 über 3) = Zeile 5, Spalte 3 = 10
c) Rechnerische Überprüfung:
(5 über 2) = 5! / (2! · 3!) = 120 / (2 · 6) = 10 ✓
(5 über 3) = 5! / (3! · 2!) = 120 / (6 · 2) = 10 ✓