Stetige Verzinsung
Stetige Verzinsung Definition
Die übliche Verzinsung erfolgt für bestimmte Zeiträume: Zinsen werden zum Beispiel jährlich, halbjährlich oder vierteljährlich gutgeschrieben (sogenannte diskrete Verzinsung).
Eine stetige Verzinsung hingegen erfolgt nicht in Abständen, sondern fortlaufend (man kann sich vorstellen, jede Minute werden Zinsen berechnet und gutgeschrieben, wodurch sich das in der nächsten Minute zu verzinsende Kapital erhöht; wenn man sich dann Sekunden oder noch kleinere Zeiteinheiten vorstellt, kommt man der stetigen Verzinsung immer näher).
Alternative Begriffe: Kontinuierliche Verzinsung, stetiger Zins.
Formel
Die stetige Verzinsung wird mit folgender Formel berechnet:
$$K_t = K_0 \cdot e^{i \cdot t}$$
Dabei ist
- $K_t$ der Kapitalbetrag nach t Jahren
- $K_0$ der angelegte Kapitalbetrag zum Zeitpunkt 0
- $t$ die Anzahl der Jahre
- $i$ ist der Zinssatz in Dezimalschreibweise, also 0,04 für 4 %
- $e$ ist die Eulersche Zahl e = 2,71828.
Beispiel
Beispiel: Stetige Verzinsung berechnen
Es soll der Kapitalbetrag inklusive Zinsen nach einem Jahr und nach 2 Jahren bei einem Zinssatz von 4 % bei stetiger Verzinsung berechnet werden, wenn man 100 € anlegt.
$$K_1 = K_0 \cdot e^{0,04 \cdot 1} = 100 \cdot 1,0408 = 104,08$$
$$K_2 = K_0 \cdot e^{0,04 \cdot 2} = K_0 \cdot e^{0,08} = 100 \cdot 1,08329 = 108,33$$
Man sieht, dass es immer ein wenig mehr als bei diskreter Verzinsung ist (100 € für ein Jahr zu 4 % bei jährlicher Zinszahlung wären 104 €; bei stetiger Verzinsung sind es 104,08 €).
Die stetige Verzinsung ist eine extreme Form des Zinseszinses.
Wo gibt es diesen stetigen Zins?
Nicht bei der üblichen Geldanlage bei Banken (Zinsen werden nicht sekündlich gutgeschrieben).
Die stetige Verzinsung wird eher in der Finanzmathematik bzw. Kapitalmarkttheorie (zum Beispiel Black-Scholes-Modell für die Bewertung von Optionen) verwendet.
So könnte man die Gewinne eines Unternehmens als Verzinsung auf das im Unternehmen eingesetzte (Eigen-)Kapital betrachten.
Gewinne fallen in Unternehmen aber kontinuierlich an: mit jedem Auftrag, mit jedem verkauften Produkt (man stelle sich hier einen großen Online-Händler vor).
Diese Gewinne bleiben in der Regel im Unternehmen (sie werden bei eine AG nur einmal jährlich ausgeschüttet) und mit den im Unternehmen einbehaltenen Gewinnen arbeitet dieses weiter, etwa indem es in mehr Vorräte oder Maschinen investiert.
Deshalb nimmt man bei Bewertungsmodellen teils implizit eine stetige Verzinsung an.
Zudem nähern stetige Zinsen tägliche oder wöchentliche Zinszahlungen gut an.