Trapezregel

Trapezregel Definition

Die Trapezregel ist eine Methode, um die Fläche unter einer Funktionskurve näherungsweise zu bestimmen (mit einem Integral kann man sie genau bestimmen).

Beispiel

Die Funktion sei y = x².

Die Fläche unter der Funktionskurve im Bereich von x = 1 bis x = 3 soll durch ein Trapez angenähert werden.

Man sieht in der Grafik, dass die Fläche des Trapezes etwas größer ist als die Fläche unter der Kurve – es ist nur eine Näherung, die durch mehr Trapeze verfeinert werden kann.

Die Fläche eines Trapezes ist: $\frac{1}{2} \cdot h \cdot (a + b)$.

Dabei ist die Höhe h hier 2 (die Strecke im Intervall von 1 bis 3), a ist die linke Trapezseite mit einem Wert von f(1) = 1² = 1 und b ist die rechte Trapezseite mit einem Wert von f(3) = 3² = 9.

Fläche = $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (1 + 9) = 10$

Die Näherung kann durch mehr Trapeze verbessert werden, da sich diese näher an die Kurve anschmiegen.

Z.B. bei 2 Trapezen:

Trapez 1 hat die Fläche $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (f(1) + f(2)) = \frac{1}{2} \cdot (1 + 4) = 2.5$

Trapez 2 hat die Fläche $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (f(2) + f(3)) = \frac{1}{2} \cdot (4 + 9) = 6.5$

Hinweis: die Höhe der Trapeze ist nunmehr nur noch 1 (bei 4 Trapezen wäre die Höhe dann 0,5 usw.).

Addiert man die beiden Trapeze auf, ergibt sich die näherungsweise Fläche: 2,5 + 6,5 = 9.

Die tatsächliche Fläche (mit einem Integral berechnet) ist 26/3 bzw. 8,67.

Die Abweichung der Näherung ist hier mit 1/3 bereits unter 5 % und kann durch weitere Unterteilung in z.B. 4 oder 8 Intervalle / Trapeze noch verbessert werden.