Simpsonregel

Beispiel Simpsonregel

Die Funktion sei y = x².

Der Graf dieser Funktion ist die Normalparabel.

Die Fläche unter der Funktionskurve im Bereich von x = 1 bis x = 3 soll mit der Simpsonregel angenähert werden.

Die Simpson-Formel lautet:

$$\int_a^b f(x) \, dx \approx$$

$$\frac{b - a}{6} \cdot (f(a) + 4 \cdot f(\frac{a + b}{2}) + f(b))$$

Dabei ist a die untere Grenze des genannten Bereichs von 1 bis 3, also 1; und b ist die obere Grenze des genannten Bereichs von 1 bis 3, also 3.

Dabei ist

$$f(a) = f(1) = 1^2 = 1$$

$$f(\frac{a + b}{2}) = f(\frac{1 + 3}{2}) = f(\frac{4}{2})$$

$$= f(2) = 2^2 = 4$$

$$f(b) = f(3)= 3^2 = 9$$

Ergibt:

$$\int_1^3 x^2 \, dx \approx \frac{3 - 1}{6} \cdot (1 + 4 \cdot 4 + 9)$$

$$= 8,67$$

Kontrolle (mit Integral)

Wir können mit einer genauen Integralberechnung überprüfen, ob dies eine gute Näherung ist.

Dafür suchen wir zunächst eine Stammfunktion F(x), das heißt eine Funktion, die abgeleitet die Funktion f(x) = x² ergibt, zum Beispiel $F(x) = \frac{1}{3} x^3$.

Anschließend berechnen wir das Integral (siehe Bestimmtes-Integral):

$$\int_1^3 f(x) dx$$

$$= \left[\frac{1}{3} x^3 \right]_1^3$$

$$= \frac{1}{3} \cdot 3^3 - \frac{1}{3} \cdot 1^3 = 9 - \frac{1}{3} = 8 \frac{2}{3}$$

Die tatsächliche Fläche (mit einem Integral berechnet) ist 26/3 bzw. 8,67.

Die Näherung durch die Simpson-Regel stimmt hier – ausnahmsweise – genau mit dem tatsächlichen Wert überein.