Simpsonregel

Simpsonregel Definition

Die nach dem Mathematiker Thomas Simpson benannte Simpsonregel ist eine Methode, um die Fläche unter einer Funktionskurve näherungsweise zu bestimmen (mit einem Integral kann man sie genau bestimmen).

Beispiel

Die Funktion sei y = x2.

Die Fläche unter der Funktionskurve im Bereich von x = 1 bis x = 3 soll mit der Simpsonregel angenähert werden.

Die Simpson-Formel lautet:

$$\int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{b - a}{6} \cdot (f(a) + 4 \cdot f(\frac{a + b}{2}) + f(b))$$

Dabei ist f(a) der Funktionswert an der Stelle a, also z.B. f(1) = 12 = 1.

$$\int_1^3 x^2 \, dx \approx \frac{3 - 1}{6} \cdot (1 + 4 \cdot 4 + 9)$$

$$= 8,67$$

Die tatsächliche Fläche (mit einem Integral berechnet) ist 26/3 bzw. 8,67.

Die Näherung durch die Simpson-Regel stimmt hier – ausnahmsweise – genau mit dem tatsächlichen Wert überein.

Alternative Begriffe: Simpsonsche Formel, Simpsonsche Regel.