Definition
Während bei einer Menge die Reihenfolge der Elemente keine Rolle spielt – {1, 2, 3} = {3, 2, 1} = {1, 3, 2) und so weiter –, enthält ein Tupel geordnete Objekte, zum Beispiel die Zahlen (1, 2, 3) in genau der Reihenfolge.
So werden die Koordinaten eines Punktes im Koordinatensystem beispielsweise als Tupel dargestellt, etwa: (3, 4). Hier ist die Reihenfolge wichtig: wieviele Einheiten auf der x-Achse (3) und wieviele Einheiten auf der y-Achse (4).
Deshalb darf man natürlich Tupel nicht sortieren, da das die Reihenfolge verändern würde (und die Koordinaten würden dann zu einem anderen Punkt führen).
Außerdem kann ein Tupel ein Objekt auch mehrfach enthalten, zum Beispiel (1, 2, 2).
Schreibweise
Tupel werden mit runden Klammern dargestellt, Mengen mit geschweiften Klammern.
Tupel – also Listen mit Objekten in einer bestimmten Reihenfolge – können alternativ auch als Vektoren geschrieben werden:
$$a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$$
n-Tupel
Ein Tupel mit n "Inhalten" ist ein n-Tupel, beispielsweise ist (1, 2, 3) ein 3-Tupel.
Für n = 2 bzw. 2-Tupel sagt man auch geordnetes Paar oder Dupel, für n = 3 bzw. 3-Tupel auch Tripel.
Kurzbeschreibung
Ein Tupel sagt also: die enthaltenen Elemente gehören zusammen, sie dürfen mehrfach vorkommen und auf ihre Reihenfolge kommt es an.
Fazit
- Ein Tupel ist eine geordnete Liste: (1, 2, 3) ≠ (3, 2, 1) — im Gegensatz zur Menge
- Runde Klammern; Elemente dürfen mehrfach vorkommen: (1, 2, 2) ist gültig
- n-Tupel mit n Einträgen — 2-Tupel = geordnetes Paar, 3-Tupel = Tripel
- Die Elemente des kartesischen Produkts A × B sind 2-Tupel (geordnete Paare)
Selbsttest: Tupel
Aufgabe: Tupel zählen
Gegeben sei die Menge M = {a, b, c} mit drei Elementen.
a) Wie viele verschiedene 2-Tupel lassen sich aus M bilden, wenn Wiederholungen erlaubt sind? b) Wie viele verschiedene 2-Tupel entstehen ohne Wiederholungen? c) Sind (a, b) und (b, a) verschiedene Tupel? Begründen Sie.
a) 2-Tupel mit Wiederholung:
Für jede der 2 Stellen stehen 3 Möglichkeiten zur Verfügung: 3 · 3 = 32 = 9
Alle Möglichkeiten: (a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b), (c,c)
b) 2-Tupel ohne Wiederholung:
Erste Stelle: 3 Möglichkeiten — zweite Stelle: noch 2 verbleibende: 3 · 2 = 6
Alle Möglichkeiten: (a,b), (a,c), (b,a), (b,c), (c,a), (c,b)
c) Sind (a, b) und (b, a) verschieden?
Ja — beim Tupel zählt die Reihenfolge. (a, b) ≠ (b, a), obwohl beide dieselben Elemente enthalten.
Als Mengen wären {a, b} = {b, a} — als Tupel sind sie verschieden.