Äquivalenzumformung
Äquivalenzumformung Definition
Mit Äquivalenzumformungen kann man viele Gleichungen (und Ungleichungen) lösen, vor allem lineare Gleichungen.
Vorgehen
Dazu führt man beispielsweise bei Gleichungen auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Operation aus: man addiert etwas, zieht etwas ab, multipliziert mit oder teilt durch etwas usw.
Bildliche Vorstellung
Wenn man sich das bildlich vorstellen möchte:
Man hat auf einer Waage links beispielsweise 2 gleich schwere Äpfel, die jeweils 300 Gramm wiegen, in Summe also 600 Gramm.
Auf der rechte Seite der Waage hat man 4 gleich schwere Birnen, die jeweils 150 Gramm wiegen, in Summe also ebenfalls 600 Gramm.
Die Waage ist im Gleichgewicht bzw. mathematisch: linke und rechte Seite der Gleichung stimmen überein.
Wenn man nun links und rechts einen Apfel dazu packt, bleibt die Waage im Gleichgewicht. Ebenso, wenn man auf beiden Seiten die Hälfte wegnimmt (also links einen Apfel und rechts 2 Birnen) bzw. mathematisch durch 2 teilt.
Alternative Begriffe: Äquivalent-Gleichung, äquivalent umformen, äquivalente Gleichung, äquivalente Umformung, Äquivalenz-Umformung.
Beispiel
Beispiel Äquivalenzumformung
Die Gleichung sei $2 \cdot x + 3 = 7$ und x soll ermittelt werden.
Dazu formt man die Gleichung – hier in zwei Schritten – auf beiden Seiten der Gleichung um:
Zunächst wird auf beiden Seiten 3 abgezogen, notiert wird dies hinter einem senkrechten Strich:
$$2 \cdot x + 3 = 7 \; \vert -3$$
$$2 \cdot x = 4 $$
Dann wird auf beiden Seiten durch 2 geteilt:
$$2 \cdot x = 4 \; \vert :2$$
$$x = 2$$
Die (hier einzige) Lösung der Gleichung ist x = 2 (bei anderen Gleichungen kann es mehrere Lösungen bzw. eine Lösungsmenge geben).
Umformungen
Es wird bei der Umformung mit den gegensätzlichen Operatoren gearbeitet: in der Gleichung stand "plus 3", dann wird mit "minus 3" umgeformt; in der Gleichung stand "mal 2", dann wird mit "geteilt durch 2" umgeformt (durch 0 dürfte man nicht teilen).
Grundsatz
Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung, die die Lösung bzw. Lösungsmenge nicht verändert, da man auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe macht.
So hat die äquivalente Gleichung $ 2 \cdot x = 4$ ebenfalls die Lösung x = 2 wie die ursprüngliche Gleichung $2 \cdot x + 3 = 7$.