Dichtefunktion

Dichtefunktion Definition

Bei stetigen Zufallsvariablen können – im Gegensatz zu diskreten Zufallsvariablen, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung mittels einer Wahrscheinlichkeitsfunktion abgebildet werden kann – keine einzelnen Wahrscheinlichkeiten für die nicht abzählbaren Ergebnisse angegeben werden; diese sind so klein, dass sie mit 0 angesetzt werden.

Allerdings kann man bestimmten Bereichen bzw. Intervallen Wahrscheinlichkeiten zuordnen und das bildet die Dichtefunktion ab.

Die Gesamtfläche unterhalb der Dichtefunktion (z.B. die Fläche unterhalb der Glockenkurve der Standardnormalverteilung) ist immer 1.

Alternative Begriffe: probability density function, Wahrscheinlichkeitsdichte, Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.

Beispiel

Dichtefunktion Beispiel

Angenommen, man hat einen Heizregler, auf dem man die Temperatur im Bereich 0 bis 60 Grad Celsius sehr genau mit 10 Nachkommastellen einstellen kann.

Man bittet jemanden, an dem Heizreglerrad eine beliebige Temperatur (das ist die stetige Zufallsvariable) einzustellen (Zufallsexperiment).

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine bestimmte Temperatur (z.B. 20,5375688921 Grad Celsius) eingestellt wird, ist so gering, dass man sagen kann, sie ist 0. Man kann bei einer stetigen Verteilung also keine Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ergebnis angeben.

Man kann jedoch bestimmten Bereichen bzw. Intervallen Wahrscheinlichkeiten zuordnen, z.B. die Wahrscheinlichkeit, dass eine Temperatur zwischen 0 und 30 Grad Celsius eingestellt wurde; diese beträgt 50 % (der Bereich 0 bis 30 Grad umfasst die Hälfte des Spektrums von 0 bis 60 Grad). Oder die Wahrscheinlichkeit, dass eine Temperatur zwischen 40 und 60 Grad eingestellt wurde: diese ist 1/3 bzw. gerundet 33 %.

Dichtefunktion

Die Dichtefunktion stellt die Dichte der stetigen Zufallsvariablen entsprechend dar. Im Beispielsfall ist dies grafisch ein Rechteck mit der Länge von 60 Einheiten und einer Höhe von 1/60 = 0,0167 (gerundet), so dass die Rechtecksfläche 1 ist.

Als (Dichte)-Funktion:

f(x)

= 1 / (60 - 0) für 0 <= x <= 60

= 0 sonst (es gibt außerhalb der Grenzen von 0 und 60 Grad keine weiteren Möglichkeiten)